Кільце поліномів та його властивості.

З означення 6.3 випливає, що множина поліномів над кільцем з операціями (6.1) та (6.2) утворює кільце. Дане кільце називається кільцем поліномів над кільцем та позначається .

Елементи кільця (не рівні нулю) можна вважати поліномами нульового степеню, тому вважаємо, що .

Теорема 6.5( властивості кільця ):

1) якщо – комутативне, тотакож комутативне;

2) якщо – кільце з одиницею, то також кільце з одиницею;

3) якщо – цілісне, то також цілісне.

Доведення: п.1 випливає безпосередньо з означення комутативного кільця та добутку поліномів (5.2).

Для доведення п.2. достатньо зазначити, що одиниця кільцяє також одиницею кільця .

Доведемо п.3. Нехай - цілісне, тоді за п.1 і 2, – комутативне кільце з одиницею. Залишилось довести, що в відсутні дільники нуля. Припустимо супротивне: нехай для деяких ненульових поліномів та , , виконується Тоді, за означенням добутку поліномів та означенням нульового поліному,

Але, за умовою, де – цілісне кільце, та , тому, за означенням цілісного кільця, що суперечить нашому припущенню. Отже, в відсутні дільники нуля. Теорему доведено.

Надалі ми будемо розглядати кільце поліномів над полем . В цьому випадку для будь-яких поліномів можна визначити операцію ділення з остачею полінома на поліном (це можливо внаслідок того, що у полі всі елементи, крім нуля, мають обернені відносно операції множення). Розглянемо ділення з остачею на прикладі.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Означення поліному. Дії над поліномами.	\|	Приклад 6.6.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.