• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Приклад 6.6.

Нехай

Тоді ділення на виконується наступним чином:

Тут ми скористались тим, що в полі , та . Отже, часткою від ділення на є поліном, а остачею – поліном нульового степеню

Результат ділення з остачею ми будемо записувати так: ; для наведеного прикладу 6.6. запис буде мати вигляд

Остачу від ділення на ми позначатимемо (зауважимо, що при ).

Отже, для будь-яких існують такі що де або Також зазначимо, що, згідно зауваження 6.4, при Тому, згідно означенню 5.1, кільце поліномів над полем є евклідовим з “нормою” Тоді, за теоремою 5.27, – факторіальне кільце.

Означення 6.7: прості елементи кільця будемо називати незвідними поліномами.

Сформулюємо ще одне означення, еквівалентне означенню 6.7.

Поліномом , називається незвідним, якщо виконується наступна умова: якщо для деяких та виконується рівність , то або , або

Зазначимо, що оборотними елементами кільця будуть всі елементи з і тільки вони. Тому для будь-якого поліному його дільниками завжди будуть всі елементи з , а також поліноми вигляду , де . Такі дільники ми будемо називати тривіальними. Всі інші дільники будемо називати нетривіальними, або власними.

Тому означення незвідного поліному можна ще переформулювати так: поліном є незвідним, якщо він не має нетривіальних дільників.

Нагадаємо (твердження 5.25), що евклідове кільце завжди є кільцем головних ідеалів. Тому, згідно п.4 теореми 4.18, факторкільце є полем тоді і лише тоді, коли поліном є незвідним.

При подальшому вивченні теорії скінчених полів ми будемо весь час використовувати факторкільце вигляду , де , тому розглянемо структуру такого факторкільця більш детально.

Нагадаємо, що при визначенні факторкільця (озн. 3.28) ми встановили, що операції на класах лишків визначенні коректно, а саме: якщо – ідеал кільця , причому , , то ; . Тобто операції на класах лишків не залежать від того, як саме ці класи лишків представлені. Тому кожен клас лишків у кільці ми можемо замінити на деякий елемент цього класу, який називається його представником; при цьому встановиться взаємно-однозначна відповідність між класами лишків та їх представниками, множина яких називається системою представників. Після цього всі обчислення у факторкільці можна замінити еквівалентними обчисленнями у системі представників. Нехай, наприклад, , – деякий ідеал кільця , причому

, (6.5)

,

для деяких . Оберемо представників: . Тоді замість рівностей (6.5) будемо записувати: .

Нехай . Зауважимо, що кожен клас лишків факторкільця містить єдиний поліном, степінь якого менша за (оскільки для будь-яких двох поліномів з одного класу лишків їх різниця ділиться на ). Тому при побудові факторкільця стандартною є така система представників: з кожного класу обирається поліном, степінь якого менша за (це буде поліном найменшого степеню у даному класі лишків). Добуток двох представників (відносно множення у кільці ), взагалі кажучи, не належить системі представників ( його степінь може бути більшою за ). Тому, щоб знайти значення добутку представників та у кільці , потрібно спочатку перемножити їх як елементи кільця , отримавши деякий поліном , а потім знайти відповідного представника, як поліном найменшого степеню у тому класі лишків, що містить поліном ; він буде мати вигляд .

Приклад 6.8:нехай .

Побудуємо факторкільце . Порядок даного кільця дорівнює кількості поліномів над , степені яких менші за 3. Дійсно, кожен клас лишків вигляду містить єдиний поліном степеню, меншого за 3: це поліном . І навпаки, кожному поліному , де , ставиться у відповідність клас лишків . Тому систему представників будуть утворювати всі поліноми вигляду , де , тобто факторкільце складається з 27-ми елементів. Як було зазначено, операція множення представників виконується за модулем полінома :

.

Приклад 6.9: побудувати факторкільце , де , та скласти таблиці Келі додавання та множення його елементів.

Розв’язок : кільце , записане як система представників , складається з усіх лишків від ділення на поліном , тобто з усіх поліномів над , степені яких менші за 3: .

Таблиця Келі додавання:

Таблиця Келі множення:

		x	x+1	x2	x2+1	x2+x	x2+x+1
		x	x+1	x2	x2+1	x2+x	x2+x+1
x	x	x2	x2+x	x+1		x2+x+1	x2+1
x+1	x+1	x2+x	x2+1	x2+x+1	x2		x
x2	x2	X+1	x2+x+1	X2+x	x	x2+1	x+1
x2+1	x2+1		x2	x	x2+x+1	x+1	x2+x
x2+x	x2+x	x2+x+1		X2+1	x+1	x	x2
x2+x+1	x2+x+1	x2+1	x	x+1	x2+x	x2

Зауваження 6.10: факторкільце , де – просте, , , містить елементів; це поліноми вигляду , де .

Читайте також:

1. Абсолютні синоніми (наприклад, власне мовні й запозичені) в одному тексті ділового стилю вживати не рекомендується.
2. Алгоритм однофакторного дисперсійного аналізу за Фішером. Приклад
3. Базові та прикладні класифікації
4. В чому полягає явище тунелювання через потенціальний бар’єр, наведіть приклади.
5. Визначення і приклади
6. Врахування витраті втрат електроенергії. Приклад складання електробалансу.
7. Головною метою наукової діяльності в системі вищої освіти повинен стати розвиток фундаментальних та приклад­них досліджень.
8. Деякі приклади застосування ППП
9. Дієслова з префіксом дис-виражають значення ліквідації дії, названої безпрефіксним дієсловом, наприклад: гармонізувати – дисгармонізувати, асоціювати – дисасоціювати.
10. Для одиничного і дрібносерійного виробництва норма витрати визначається як укрупнена, наприклад, на 1000 станко-годин роботи даного виду роботи устаткування
11. Додаток И - Приклад виконання ремонтного креслення деталі
12. Етикет – (прикріплювати) установлений порядок поведінки в товаристві, певному оточенні, наприклад, придворний етикет, дипломатичний етикет.

Переглядів: 735