• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Корені поліномів та їх властивості.

Означення 6.11: нехай , . Якщо , то елемент називається коренем або нулем полінома .

Приклад 6.12: елемент є коренем полінома .

Теорема 6.13(теорема Безу): нехай , . Елемент є коренем полінома тоді і тільки тоді , коли .

Доведення: нехай , тобто . Тоді .

Нехай тепер . Припустимо , що не ділить поліном . Тоді при діленні полінома на отримаємо ненульову остачу:

.

За означенням ділення з остачею, , тому , тобто , тобто

, .

Але тоді , що суперечить умові . Теорему доведено.

Означення 6.14: нехай , Якщо для деякого виконується , але не ділить , то будемо говорити, що елемент є -кратним коренем полінома

Якщо , то корінь називається простим; інакше – кратним.

Теорема 6.15: нехай різні корені поліному їх кратності. Тоді:

1)

2) зокрема

Доведення: поліноми та при є взаємно-простими. За теоремою Безу та означенням 6.14,

Як було показано раніше, кільце є евклідовим, тому, за наслідком 5.23 алгоритму Евкліда, Перший пункт доведено.

Доведемо п.2) (від супротивного). Нехай Тоді, за п.1) . Але тому не може ділити , що суперечить п.1) Теорему доведено.

Означення 6.16: нехай Похідною поліному називається поліном .

Твердження 6.17 (властивості похідної): нехай Тоді

Теорема 6.18: нехай Тоді

Доведення: нехай тобто Тоді тобто

Нехай тепер та Тоді за теоремою Безу і

Зауваження 6.19:

1) всі поліноми першого степеню є незвідними;

2) всі поліноми першого степеню мають корені у полі : дійсно, коренем полінома , де є елемент ;

3) якщо та поліном незвідний, то він не має коренів в полі . Дійсно, якщо - корінь полінома , то за теоремою Безу, , тобто має нетривіальний дільник, оскільки .

Теорема 6.20 (критерій незвідності поліномів 2-го та 3-го степеню): нехай або Тоді наступні твердження рівносильні:

1)незвідний ;

2) не має коренів в

Доведення: твердження 2) випливає з твердження 1) без будь-яких обмежень на степінь поліному (див. зауваження 6.19). Доведемо від супротивного, що твердження 1) випливає з твердження 2).

Нехай не має коренів в , але не є незвідним. Тоді можна розкласти на нетривіальні множники: Оскільки та або , то або або Нехай тобто Тоді елемент є коренем полінома , а отже і полінома , що суперечить умові. Теорему доведено.

Зауваження 6.21: умова або у теоремі 1.20 є суттєвою. Наприклад, поліном четвертого степеню не має коренів в , але не є незвідним: .

Теорема 6.22 (інтерполяційна формула Лагранжа побудови поліному за його значенням): нехай – різні,

Тоді

Цей поліном має вигляд: .

Доведення: безпосередньою перевіркою легко переконатись, що ; крім того, за побудовою, , оскільки степінь кожного доданку не перевищує . Доведемо єдиність такого полінома від супротивного. Припустимо, існує ще один поліном , такий, що і Розглянемо поліном . Оскільки то і . Але, оскільки то , що суперечить п.2 теореми 6.15. Теорему доведено.

Задачі:

1) - поле, тоді або або .

2) Якщо , то .

3) Якщо , то , де - просте.

4) Оборотні елементи кільця – це оборотні елементи поля .

Читайте також:

1. Аналізатори людини та їхні властивості.
2. Аналізатори людини та їхні властивості.
3. Будова атомів та хімічний зв’язок між атомами визначають будову сполук, а отже і їх фізичні та хімічні властивості.
4. Векторний добуток і його властивості.
5. Відділення коренів
6. Відношення еквівалентності та порядку, їх властивості. Впорядковані множини. Зв'язок відношення еквівалентності з розбиттям множини на класи, що попарно не перетинаються.
7. Властивості.
8. Емпірична функція розподілу та її властивості.
9. Історичні корені педагогічної професії.
10. Кільце поліномів та його властивості.
11. Культурно-історичний процес, його основні принципи та властивості.

Переглядів: 1313