• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Корені поліномів та їх властивості.

Означення 6.11: нехай , . Якщо , то елемент називається коренем або нулем полінома .

Приклад 6.12: елемент є коренем полінома .

Теорема 6.13(теорема Безу): нехай , . Елемент є коренем полінома тоді і тільки тоді , коли .

Доведення: нехай , тобто . Тоді .

Нехай тепер . Припустимо , що не ділить поліном . Тоді при діленні полінома на отримаємо ненульову остачу:

.

За означенням ділення з остачею, , тому , тобто , тобто

, .

Але тоді , що суперечить умові . Теорему доведено.

Означення 6.14: нехай , Якщо для деякого виконується , але не ділить , то будемо говорити, що елемент є -кратним коренем полінома

Якщо , то корінь називається простим; інакше – кратним.

Теорема 6.15: нехай різні корені поліному їх кратності. Тоді:

1)

2) зокрема

Доведення: поліноми та при є взаємно-простими. За теоремою Безу та означенням 6.14,

Як було показано раніше, кільце є евклідовим, тому, за наслідком 5.23 алгоритму Евкліда, Перший пункт доведено.

Доведемо п.2) (від супротивного). Нехай Тоді, за п.1) . Але тому не може ділити , що суперечить п.1) Теорему доведено.

Означення 6.16: нехай Похідною поліному називається поліном .

Твердження 6.17 (властивості похідної): нехай Тоді

Теорема 6.18: нехай Тоді

Доведення: нехай тобто Тоді тобто

Нехай тепер та Тоді за теоремою Безу і

Зауваження 6.19:

1) всі поліноми першого степеню є незвідними;

2) всі поліноми першого степеню мають корені у полі : дійсно, коренем полінома , де є елемент ;

3) якщо та поліном незвідний, то він не має коренів в полі . Дійсно, якщо - корінь полінома , то за теоремою Безу, , тобто має нетривіальний дільник, оскільки .

Теорема 6.20 (критерій незвідності поліномів 2-го та 3-го степеню): нехай або Тоді наступні твердження рівносильні:

1)незвідний ;

2) не має коренів в

Доведення: твердження 2) випливає з твердження 1) без будь-яких обмежень на степінь поліному (див. зауваження 6.19). Доведемо від супротивного, що твердження 1) випливає з твердження 2).

Нехай не має коренів в , але не є незвідним. Тоді можна розкласти на нетривіальні множники: Оскільки та або , то або або Нехай тобто Тоді елемент є коренем полінома , а отже і полінома , що суперечить умові. Теорему доведено.

Зауваження 6.21: умова або у теоремі 1.20 є суттєвою. Наприклад, поліном четвертого степеню не має коренів в , але не є незвідним: .

Теорема 6.22 (інтерполяційна формула Лагранжа побудови поліному за його значенням): нехай – різні,

Тоді

Цей поліном має вигляд: .

Доведення: безпосередньою перевіркою легко переконатись, що ; крім того, за побудовою, , оскільки степінь кожного доданку не перевищує . Доведемо єдиність такого полінома від супротивного. Припустимо, існує ще один поліном , такий, що і Розглянемо поліном . Оскільки то і . Але, оскільки то , що суперечить п.2 теореми 6.15. Теорему доведено.

Задачі:

1) - поле, тоді або або .

2) Якщо , то .

3) Якщо , то , де - просте.

4) Оборотні елементи кільця – це оборотні елементи поля .

Читайте також:

1. Аналізатори людини та їхні властивості.
2. Аналізатори людини та їхні властивості.
3. Будова атомів та хімічний зв’язок між атомами визначають будову сполук, а отже і їх фізичні та хімічні властивості.
4. Векторний добуток і його властивості.
5. Відділення коренів
6. Відношення еквівалентності та порядку, їх властивості. Впорядковані множини. Зв'язок відношення еквівалентності з розбиттям множини на класи, що попарно не перетинаються.
7. Властивості.
8. Емпірична функція розподілу та її властивості.
9. Історичні корені педагогічної професії.
10. Кільце поліномів та його властивості.
11. Культурно-історичний процес, його основні принципи та властивості.

Переглядів: 1443