• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Відділення коренів

Якщо рівняння досить складне, то його корені порівняно рідко вдається знайти точно. Крім того, в деяких випадках рівняння містить коефіцієнти, відомі лише приблизно, і, отже, сама задача про точне визначення коренів рівняння втрачає сенс. Тому важливе значення мають способи наближеного знаходження коренів рівняння і оцінки ступеня їх точності.

Нехай дано рівняння

(4.1)

де функція визначена і неперервна на деякому скінченому або нескінченному інтервалі .

Надалі в деяких випадках нам знадобиться існування і неперервність першої похідної або навіть другої похідної, що буде обумовлено у відповідних місцях.

Всяке значення , що обертає функцію в нуль, тобто таке, що , називається коренем рівняння (4.1) або нулем функції .

Ми припускатимемо, що рівняння (4.1) має лише ізольовані корені, тобто для кожного кореня рівняння (4.1) існує окіл, що не містить інших коренів цього рівняння.

Для відділення коренів корисною буде відома теорема з математичного аналізу.

Теорема 1. Якщо неперервна функція приймає значення різних знаків на кінцях відрізка , тобто , то всередині цього відрізка міститься щонайменше один корінь рівняння, тобто знайдеться хоча б одне число таке, що (рис. 4.1).

Рис. 4.1 Рис. 4.2

Корінь завідомо буде єдиним, якщо похідна існує та зберігає сталий знак всередині інтервалу , тобто якщо (або ) при (рис. 4.2).

Процес відділення коренів починається з встановлення знаків функції у граничних точках и області її існування.

Потім встановлюються знаки функції у ряді проміжних точок , вибір яких враховує особливості функ­ції . Якщо виявиться, що для деякого матиме місце нерівність , то в силу тео­реми 1 на інтервалі матимемо корінь рівняння . Потім потрібно впевнитися, чи є цей корінь єдиний. Для відділення коренів практично часто буває достатньо здійснити процес половинного поділу, наближено ділячи даний інтервал на дві, чотири, вісім і т. д. рівних частин (до деякого кроку) та визначаючи знаки функції в точках поділу. Корисно пам’ятати, що алгебраїчне рівняння -го степеня

має не більше дійсних коренів. Тому, якщо для такого рівняння ми отримали змін знаків, то всі корені його відділені.

Приклад 1. Відділити корені рівняння

. (4.2)

Розв’язок. Складаємо приблизну схему:

-	-
-3	-
-1	+
	+
	-
	+
+	+

Отже, рівняння (4.2) має три дійсні корені, що лежать в інтервалах .

Якщо існує неперервна похідна і корені рівняння легко обчислюються, то процес відділення коренів рівняння (4.1) можна упорядкувати. Для цього, очевидно, достатньо підрахувати лише знаки функції в точках нулів її похідної і в граничних точках і .

Приклад 2. Відділити корені рівняння

. (4.3)

Розв’язок. Тут, тому при .

Маємо

.

Отже, рівняння (4.3) має тільки два дійсні корені, з яких один лежить в інтервалі , а інший — в інтервалі .

Приклад 3. Визначити число дійсних коренів рівняння

. (4.4)

Розв’язок. Оскільки і, то рівняння (4.4) має тільки один дійсний корінь.

Дамо тепер оцінку похибки наближеного кореня.

Теорема 2 (без доведення). Нехай — точний, а — наближений корені рівняння, що знаходяться на одному і тому ж відрізку , причому при .

У такому разі справедлива оцінка

. (4.5)

Зауваження. Формула (4.5) може дати грубі результати, і її не завжди зручно застосовувати. Тому на практиці тим або іншим способом звужують загальний інтервал , що містить корінь і його наближене значення , і вважають .

Приклад 4. Наближеним коренем рівняння є . Оцінити абсолютну похибку цього кореня.

Розв’язок. Маємо .

Оскільки при одержуємо

,

то точний корінь міститься в інтервалі . Похідна монотонно зростає. Тому її найменшим значенням в даному інтервалі є:

.

Звідси по формулі (4.5) отримаємо:

.

4.2 Метод половинного поділу (метод дихотомії)

Нехай дано рівняння

, (4.6)

де функція неперервна на і .

Для пошуку кореня рівняння (4.6), що належить відрізку , ділимо цей відрізок навпіл (на дві рівні частини). Якщо, то є коренем рівняння. Якщо , то вибираємо ту з половин чи , на кінцях якої функція має протилежні знаки. Новий звужений відрізок знову ділимо навпіл і вибираємо ту з половин чи , на кінцях якої функція має протилежні знаки, і так далі. У результаті отримаємо на деякому етапі точний корінь рівняння (4.6), або ж нескінчену послідовність вкладених один в одного відрізків таких, що

(4.7)

і

(4.8).

Для кожного фіксованого можна стверджувати, що корінь рівняння (4.6) знаходиться на відрізку . Наближеним значенням кореня можна вважати середину цього відрізка:

Похибка у цьому випадку:

.

Приймаючи значення досить великим (виконуючи досить велике число половинних поділів відрізка), можна досягнути високої точності обчислень.

Якщо корені рівняння (4.6) не відділені на відрізку , то та­ким способом можна знайти хоча б один з коренів рівняння (4.6), але немає гарантії, що ми знайдемо всі корені.

Метод дихотомії практично зручно застосовувати для грубого знаходження кореня даного рівняння, оскільки при збільшенні точності значно зростає об'єм обчислювальної роботи.

Зауважимо, що метод половинного поділу легко реалізується на комп'ютерах. Програма обчислення складається так, щоб машина знаходила значення лівої частини рівняння (4.6) в середині кожного з відрізків і вибирала відповідну половину його.

Приклад. Методом половинного поділу уточнити корінь рівняння, що лежить на відрізку .

Розв’язок. Послідовно маємо:

			-1			0,5
	0,5		-1,19			0,25
	0,75		-0,59			0,125
	0,75	0,875	-0,59	0,05		0,0625
	0,8125	0,875	-0,304	0,05		0,03125

Приймаємо:

4.3 Метод хорд (спосіб пропорційних частин)

Розглянемо (в передумовах п. 4.2) більш швидкий спосіб знаходження кореня рівняння , що лежить на заданому відрізку , такому, що .

Нехай для визначеності і . Покладемо також, що . Тоді, замість того, щоб ділити відрізок навпіл, більш логічно розділити його у відношенні .

Геометрично метод хорд еквівалентний заміні кривої хордою, що проходить через точки та (рис. 4.3).

Рис. 4.3 Рис. 4.4

Рівняння хорди АВ:

.

Звідси, поклавши та , отримаємо:

. (4.9)

Далі, застосовуючи цей прийом до відрізка , отримаємо друге наближення кореня:

.

Продовжуючи процес далі, отримаємо формулу методу хорд:

(4.10)

Умова забезпечувала нам розташування точного значення кореня всередині відрізка на кожному етапі процесу обчислення (на кожній ітерації). Це випливає з аналізу рис. 4.3.

Якщо і (рис. 4.4), то потрібно користуватися такою формулою методу хорд (при цьому, як і раніше, вважаємо, що ):

(4.11)

Якщо , то можна розглядувати рівняння .

Узагальнюємо отримані результати:

1) нерухомим є той кінець відрізка , для якого знак функції співпадає зі знаком її другої похідної , тобто ; за приймаємо інший (протилежний до нерухомого) кінець відрізка;

2) послідовні наближення лежать по той бік від кореня , де функція має знак, протилежний знаку її другої похідної . У обох випадках кожне наступне наближення ближче до кореня , ніж попереднє .

Для оцінки точності наближення можна знову скористатися формулою:

,

де при ;

а також формулою:

.

Приклад. Знайти додатний корінь рівняння

з точністю до .

Розв’язок. Перш за все відділимо корінь. Так як

, , то .

Перша похідна:

.

Друга похідна

при .

Отже: нерухомий кінець , .

Послідовно застосовуючи формулу (4.10), матимемо:

		-0,6
	1,15	-0,173
	1,190	-0,036
	1,198	-0,0072

Так як при маємо

,

то можна оцінити похибку точніше:

.

Зауважимо, що точний корінь рівняння є .

Читайте також:

1. Виконавча дирекція страхового фонду є виконавчим орга­ном правління фонду. Робочими органами виконавчої дирекції є її відділення, страхові каси.
2. Відділення не має права залишати позицію, яку займає, і відходити без наказу командира взводу.
3. До переходу противника в наступ на позиції відділення постійно несе службу спостерігач.
4. Загальна будова відділення управління
5. Міжнародні відділення
6. Організація навчальних занять з ФВ в навчальних відділеннях ВНЗ
7. Організація роботи супового відділення
8. Основи оборонного бою. Завдання, бойовий порядок відділення в обороні – 30хв.
9. Основні відомості про аптеку, її функції. Правила зберігання та відпуску ліків в аптеках і відділеннях стаціонару.
10. Особливості відкриття відділення банку
11. Охорона праці при роботах у відділах (відділеннях) камерної дезінфекції та в санітарних пропускниках

Переглядів: 1690