МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Метод Ньютона (метод дотичних)Нехай корінь рівняння (4.12) Відділений на відрізку , причому та неперервні та зберігають сталі знаки при . Знайшовши яке-небудь -е наближене значення кореня , ми можемо уточнити його методом Ньютона по формулі: . (4.13) Геометрично метод Ньютона еквівалентний заміні невеликої дуги кривої дотичною, проведеною в деякій точці кривої. Справді, покладемо для визначеності, що при та (рис. 4.5). Виберемо, наприклад, , для якого . Проведемо дотичну до кривої в точці . Для першого наближення кореня візьмемо абсцису точки перетину цієї дотичної з віссю . Через точку знову проведемо дотичну, абсциса точки перетину якої з віссю дасть нам друге наближення кореня і т. д. (рис. 4.5). Рис. 4.5
Очевидно, що рівняння дотичної в точці є . Поклавши , отримаємо формулу (4.13): . Зауважимо, що, якщо у нашому випадку покласти і, отже, , то, провівши дотичну до кривої в точці , ми отримали б точку (рис. 4.5), що лежить поза відрізком , тобто при такому виборі початкового значення метод Ньютона не приведе до мети. Таким чином, у даному випадку «хорошим» початковим наближенням є таке, для якого виконується нерівність (4.14). Це правило є загальним для методу Ньютона. Зауваження 1. Якщо: 1) функція визначена і неперервна при ; 2) ; 3) при ; 4) існує всюди і зберігає сталий знак, то при застосуванні методу Ньютона для знаходження кореня рівняння , який лежить у інтервалі , за початкове наближення можна прийняти будь-яке значення . Зокрема, можна покласти або . Зауваження 2. З формули (4.13) видно, що чим більше числове значення похідної у околі даного кореня, тим менша поправка, яку треба додати до -го наближення, щоб отримати -е наближення. Тому метод Ньютона особливо зручно застосовувати тоді, коли у околі даного кореня графік функції має велику крутизну. Якщо ж чисельне значення похідної біля кореня мале, то поправки будуть великими, і обчислення кореня за методом Ньютона може виявитися дуже довгим, або і взагалі неможливим. Отже, якщо крива біля точки перетину з віссю майже горизонтальна, то застосовувати метод Ньютона для розв’язування рівняння не рекомендується. Для оцінки похибки -гo наближення знову можна скористатися формулою (4.15), де — найменше значення на відрізку . Має місце ще одна формула для оцінки точності наближення : (4.16). Отже, якщо задатися якоюсь точністю , то обчислення за методом Ньютона можна виконувати до тих пір, коли різниця між двома сусідніми наближеннями за абсолютною величиною стане меншою від . А потім прийняти значення кореня рівняння рівним останньому наближенню. Приклад 1. Обчислити методом Ньютона від’ємний корінь рівняння з п’ятьма вірними знаками. Розв’язок. Послідовно приймаючи у лівій частині рівняння , отримаємо . Отже, шуканий корінь знаходиться в інтервалі . Звузимо знайдений інтервал. Так як , то . Перша та друга похідні: У останньому знайденому інтервалі похідні зберігають сталі знаки: та . Так як і , то можемо прийняти за початкове наближення . Послідовні наближення обчислюємо за такою схемою:
Так як поправка є фактично різницею між двома сусідніми наближеннями кореня, то можна покласти . Приклад 2. Знайти за методом Ньютона найменший додатний корінь рівняння з точністю . Розв’язок. Побудувавши графіки функцій та (рис. 4.6), робимо висновок, що шуканий корінь знаходиться в інтервалі . Перепишемо рівняння у вигляді, матимемо: Рис. 4.6
Звідси та при . Так як , то за початкове наближення можна прийняти . Обчислення виконуємо за наступною схемою:
Надаємо можливість читачу самостійно здійснити оцінку похибки наближеного значення . Читайте також:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|