• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Метод Ньютона (метод дотичних)

Нехай корінь рівняння

(4.12)

Відділений на відрізку , причому та неперервні та зберігають сталі знаки при . Знайшовши яке-небудь -е наближене значення кореня , ми можемо уточнити його методом Ньютона по формулі:

. (4.13)

Геометрично метод Ньютона еквівалентний заміні невеликої дуги кривої дотичною, проведеною в деякій точці кривої. Справді, покладемо для визначеності, що при та (рис. 4.5).

Виберемо, наприклад, , для якого . Про­ведемо дотичну до кривої в точці .

Для першого наближення кореня візьмемо абсцису точки перетину цієї дотичної з віссю . Через точку знову проведемо дотичну, абсциса точки перетину якої з віссю дасть нам друге наближення кореня і т. д. (рис. 4.5).

Рис. 4.5

Оче­видно, що рівняння дотичної в точці є

.

Поклавши , отримаємо формулу (4.13):

.

Зауважимо, що, якщо у нашому випадку покласти і, отже, , то, провівши дотичну до кривої в точці , ми отримали б точку (рис. 4.5), що лежить поза відрізком , тобто при такому виборі початкового значення ме­тод Ньютона не приведе до мети. Таким чином, у даному випадку «хорошим» початковим наближенням є таке, для якого виконується нерівність

(4.14).

Це правило є загальним для методу Ньютона.

Зауваження 1. Якщо: 1) функція визначена і неперервна при ; 2) ; 3) при ; 4) існує всюди і зберігає сталий знак, то при застосуванні методу Ньютона для знаходження кореня рівняння , який лежить у інтервалі , за початкове наближення можна прийняти будь-яке значення . Зокрема, можна покласти або .

Зауваження 2. З формули (4.13) видно, що чим більше числове значення похідної у околі даного кореня, тим менша поправка, яку треба додати до -го наближення, щоб отримати -е наближення. Тому метод Ньютона особливо зручно застосовувати тоді, коли у околі даного кореня графік функції має велику крутизну. Якщо ж чисельне значення похідної біля кореня мале, то поправки будуть великими, і обчислення кореня за методом Ньютона може виявитися дуже довгим, або і взагалі неможливим. Отже, якщо крива біля точки перетину з віссю майже горизонтальна, то застосовувати метод Ньютона для розв’язування рівняння не рекомендується.

Для оцінки похибки -гo наближення знову можна скористатися формулою

(4.15),

де — найменше значення на відрізку .

Має місце ще одна формула для оцінки точності наближення :

(4.16).

Отже, якщо задатися якоюсь точністю , то обчислення за методом Ньютона можна виконувати до тих пір, коли різниця між двома сусідніми наближеннями за абсолютною величиною стане меншою від . А потім прийняти значення кореня рівняння рівним останньому наближенню.

Приклад 1. Обчислити методом Ньютона від’ємний корінь рівняння з п’ятьма вірними знаками.

Розв’язок.

Послідовно приймаючи у лівій частині рівняння , отримаємо .

Отже, шуканий корінь знаходиться в інтервалі . Звузимо знайдений інтервал. Так як , то .

Перша та друга похідні:

У останньому знайденому інтервалі похідні зберігають сталі знаки: та . Так як і , то можемо прийняти за початкове наближення . Послідовні наближення обчислюємо за такою схемою:

	-11		-5183	0,7
	-10,3	134,3	-4234	0,03
	-10,27	37,8	-4196	0,009
	-10,261	0,15	-4185	0,00004

Так як поправка є фактично різницею між двома сусідніми наближеннями кореня, то можна покласти .

Приклад 2. Знайти за методом Ньютона найменший додатний корінь рівняння з точністю .

Розв’язок. Побудувавши графіки функцій та (рис. 4.6), робимо висновок, що шуканий корінь знаходиться в інтервалі . Перепишемо рівняння у вигляді, матимемо:

Рис. 4.6

Звідси та при . Так як , то за початкове наближення можна прийняти . Обчислення виконуємо за наступною схемою:

		-1	-4,712
		-0,0291	-4,399
		-0,00003	-----

Надаємо можливість читачу самостійно здійснити оцінку похибки наближеного значення .

Читайте також:

1. D) методу мозкового штурму.
2. H) інноваційний менеджмент – це сукупність організаційно-економічних методів управління всіма стадіями інноваційного процесу.
3. I Метод Шеннона-Фано
4. I. Метод рiвних вiдрiзкiв.
5. VII. Нахождение общего решения методом характеристик
6. А. науковий факт, b. гіпотеза, с. метод
7. Автоматизація водорозподілу на відкритих зрошувальних системах. Методи керування водорозподілом. Вимірювання рівня води. Вимірювання витрати.
8. Агрегативна стійкість, коагуляція суспензій. Методи отримання.
9. АгротехнІЧНИЙ метод
10. Адаптовані й специфічні методи дослідження у журналістикознавстві
11. Адміністративні (прямі) методи регулювання.
12. Адміністративні методи - це сукупність прийомів, впливів, заснованих на використанні об'єктивних організаційних відносин між людьми та загальноорганізаційних принципів управління.

Переглядів: 1893