Нехай , і зберігають сталі знаки на відрізку . Об’єднуючи методи хорд та Ньютона, отримаємо метод, на кожному етапі якого знаходимо значення з нестачею та значення з надлишком точного кореня рівняння .
Звідси, зокрема, випливає, що цифри, спільні для і , обов’язково належать точному кореню . Теоретично можливі чотири випадки:
1) (мал. 4.7);
2) (мал. 4.8);
3) (мал. 4.9);
4) (мал. 4.10 ).
Ми обмежимося розглядом першого випадку. Інші випадки вивчаються аналогічно, причому характер обчислень легко зрозуміти з відповідних малюнків. Зауважимо, що ці випадки можна звести до першого, якщо замінити досліджуване рівняння рівносильними йому рівняннями: та , де .
Отже, нехай та при . Покладемо та
Рис. 4.7 Рис. 4.8
Рис. 4.9 Рис. 4.10
У формулах та метод хорд застосовується на кожному кроці до нового відрізка .
Легко встановити, що
(4.18).
Отже, якщо абсолютна похибка наближеного кореня задана попередньо і рівна , то процес зближення закінчується тоді, коли буде встановлено, що . По закінченню процесу значення кореня краще всього прийняти рівним середньому арифметичному знайдених останніх значень:
.
Приклад. Обчислити з точністю єдиний додатний корінь рівняння
.
Розв’язок. Так як і , то корінь знаходиться в інтервалі . Маємо:
та .
У вибраному нами інтервалі перша та друга похідні зберігають додатний знак.
Застосуємо комбінований метод, поклавши та .
Обчислення за формулами та дадуть такі результати:
.
Так як , обчислення потрібно продовжити. Знаходимо наступну пару наближень: