• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Метод ітерації

Одним з найбільш важливих методів чисельного розв’язування рівнянь є метод ітерації ( часто метод ітерації називають методом послідовних наближень). Сутність цього методу полягає у наступному.

Нехай дано рівняння

(4.19),

де — неперервна функція, і потрібно знайти його дійсні корені.

Замінимо рівняння (4.19) рівносильним рівнянням

. (4.20)

Виберемо яким-небудь способом наближене значення кореня та підставимо його у праву частину рівняння (4.20). Тоді отримаємо деяке число

. (4.21)

Підставимо тепер у праву частину рівності (4.20) замість число , отримаємо нове число . Повторюючи цей процес, отримаємо послідовність чисел

. (4.22)

Якщо ця послідовність — збіжна, тобто існує границя , то, переходячи до границі у рівності (4.22) и вважаючи функцію неперервною, знаходимо:

або

(4.23).

Таким чином, границя є коренем рівняння (4.20) и може бути обчислена за формулою (4.22) з будь-якою точністю.

Для практичного застосування методу ітерації потрібно з’ясувати достатні умови збіжності ітераційного процесу.

Теорема 1 (без доведення). Нехай функція визначена і диференційована на відрізку , причому всі її значення .

Тоді, якщо існує дійсне число таке, що

(4.24)

при , то:

1) процес ітерації

збігається незалежно від початкового значення ;

2) граничне значення

є єдиним коренем рівняння

.

Зауваження 1. Теорема залишається справедливою, якщо функція визначена та диференційована на нескінченому інтервалі , причому при виконується нерівність (4.24).

Зауваження 2. В умовах теореми 1 метод ітерації збігається при будь-якому виборі початкового значення . Завдяки цьому цей метод є таким, що сам виправляється, тобто, окрема помилка у обчисленнях, яка не виводить за межі відрізка , не вплине на кінцевий результат, адже помилкове значення можна розглядувати як нове початкове значення . Можливо, зросте лише обсяг роботи. Властивість самовиправлення робить метод ітерації одним з надійніших методів обчислення. Звичайно, систематичні помилки при застосуванні методу ітерації можуть завадити отриманню правильного результату.

Оцінка наближення. Процес ітерації слід продовжувати до тих пір, доки для двох послідовних наближений і не буде забезпечено виконання нерівності

,

де - задана похибка кореня і .

Якщо , то з нерівності випливає нерівність .

Приклад. Знайти з точністю один з коренів рівняння .

Розв’язок.

. Дане рівняння має корінь на інтервалі .

Представимо рівняння у вигляді . У цьому випадку .

Очевидно, що при маємо також .

Похідна .

При маємо .

Умови теореми 1 виконані. Процес ітерації будемо здійснювати до забезпечення виконання нерівності

.

Покладемо . Послідовно обчислюємо:

На цьому процес ітерації можна зупинити, так як .

Покладемо .

Приклад 2. Знайти методом ітерацій найбільший додатний корінь рівняння з точністю .

Розв’язок. Легко впевнитися в тому, що шуканий корінь знаходиться на інтервалі . Справді, і при .

Початкове рівняння можна переписати у вигляді , або , або тощо.

Найвигіднішим серед цих способів є останній, так як, обравши за основний проміжок і поклавши

,

знайдемо, що похідна

за абсолютною величиною не перевищує :

.

Розраховуємо послідовні наближення з одним запасним знаком за формулою

Так як , то з точністю можна покласти

Приклад 3. Рівняння

Має корінь , так як та .

Дане рівняння можна записати у вигляді

.

Тут

та ;

тому при .

Отже, умови збіжності процесу ітерації не виконуються.

Якщо записати початкове рівняння у вигляді

,

то матимемо

та .

Звідси при , отже, процес ітерації є збіжним.

Читайте також:

1. D) методу мозкового штурму.
2. H) інноваційний менеджмент – це сукупність організаційно-економічних методів управління всіма стадіями інноваційного процесу.
3. I Метод Шеннона-Фано
4. I. Метод рiвних вiдрiзкiв.
5. VII. Нахождение общего решения методом характеристик
6. А. науковий факт, b. гіпотеза, с. метод
7. Автоматизація водорозподілу на відкритих зрошувальних системах. Методи керування водорозподілом. Вимірювання рівня води. Вимірювання витрати.
8. Агрегативна стійкість, коагуляція суспензій. Методи отримання.
9. АгротехнІЧНИЙ метод
10. Адаптовані й специфічні методи дослідження у журналістикознавстві
11. Адміністративні (прямі) методи регулювання.
12. Адміністративні методи - це сукупність прийомів, впливів, заснованих на використанні об'єктивних організаційних відносин між людьми та загальноорганізаційних принципів управління.

Переглядів: 1057