МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
|||||||
Метод ітераціїОдним з найбільш важливих методів чисельного розв’язування рівнянь є метод ітерації ( часто метод ітерації називають методом послідовних наближень). Сутність цього методу полягає у наступному. Нехай дано рівняння (4.19), де — неперервна функція, і потрібно знайти його дійсні корені. Замінимо рівняння (4.19) рівносильним рівнянням . (4.20) Виберемо яким-небудь способом наближене значення кореня та підставимо його у праву частину рівняння (4.20). Тоді отримаємо деяке число . (4.21) Підставимо тепер у праву частину рівності (4.20) замість число , отримаємо нове число . Повторюючи цей процес, отримаємо послідовність чисел . (4.22) Якщо ця послідовність — збіжна, тобто існує границя , то, переходячи до границі у рівності (4.22) и вважаючи функцію неперервною, знаходимо: або (4.23). Таким чином, границя є коренем рівняння (4.20) и може бути обчислена за формулою (4.22) з будь-якою точністю. Для практичного застосування методу ітерації потрібно з’ясувати достатні умови збіжності ітераційного процесу. Теорема 1 (без доведення). Нехай функція визначена і диференційована на відрізку , причому всі її значення . Тоді, якщо існує дійсне число таке, що (4.24) при , то: 1) процес ітерації збігається незалежно від початкового значення ; 2) граничне значення є єдиним коренем рівняння . Зауваження 1. Теорема залишається справедливою, якщо функція визначена та диференційована на нескінченому інтервалі , причому при виконується нерівність (4.24). Зауваження 2. В умовах теореми 1 метод ітерації збігається при будь-якому виборі початкового значення . Завдяки цьому цей метод є таким, що сам виправляється, тобто, окрема помилка у обчисленнях, яка не виводить за межі відрізка , не вплине на кінцевий результат, адже помилкове значення можна розглядувати як нове початкове значення . Можливо, зросте лише обсяг роботи. Властивість самовиправлення робить метод ітерації одним з надійніших методів обчислення. Звичайно, систематичні помилки при застосуванні методу ітерації можуть завадити отриманню правильного результату. Оцінка наближення. Процес ітерації слід продовжувати до тих пір, доки для двох послідовних наближений і не буде забезпечено виконання нерівності , де - задана похибка кореня і . Якщо , то з нерівності випливає нерівність . Приклад. Знайти з точністю один з коренів рівняння . Розв’язок. . Дане рівняння має корінь на інтервалі . Представимо рівняння у вигляді . У цьому випадку . Очевидно, що при маємо також . Похідна . При маємо . Умови теореми 1 виконані. Процес ітерації будемо здійснювати до забезпечення виконання нерівності . Покладемо . Послідовно обчислюємо: На цьому процес ітерації можна зупинити, так як . Покладемо . Приклад 2. Знайти методом ітерацій найбільший додатний корінь рівняння з точністю . Розв’язок. Легко впевнитися в тому, що шуканий корінь знаходиться на інтервалі . Справді, і при . Початкове рівняння можна переписати у вигляді , або , або тощо. Найвигіднішим серед цих способів є останній, так як, обравши за основний проміжок і поклавши , знайдемо, що похідна за абсолютною величиною не перевищує : . Розраховуємо послідовні наближення з одним запасним знаком за формулою Так як , то з точністю можна покласти Приклад 3. Рівняння Має корінь , так як та . Дане рівняння можна записати у вигляді . Тут та ; тому при . Отже, умови збіжності процесу ітерації не виконуються. Якщо записати початкове рівняння у вигляді , то матимемо та . Звідси при , отже, процес ітерації є збіжним. Читайте також:
|
||||||||
|