Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Метод ітерації для системи двох рівнянь

Нехай задано систему двох рівнянь з двома невідомими

(4.25)

дійсні корені якої потрібно знайти з заданою точністю.

Припустимо, що система (4.25) має лише ізольовані корені. Кількість цих коренів та їх грубі наближені значення можна встановити, побудувавши криві та , та визначивши наближено координати їх точок перетину.

Нехай - наближені значення коренів системи (4.25), знайдені графічно чи яким-небудь іншим способом (наприклад, грубою прикидкою).

Задамо ітераційний процес, який дозволяє при відомих умовах уточнити дані наближені значення коренів. Для цього представимо систему (4.25) у вигляді

(4.26)

та побудуємо послідовні наближення за такими формулами:

(4.27)

Якщо ітераційний процес збігається, тобто існують границі та , то ці границі та є коренями системи (4.25). Отже, взявши достатньо велике число ітерацій (4.27), ми отримаємо числа та , які будуть відрізнятися від точних коренів та системи (4.25) як завгодно мало. Таким чином, задача буде розв’язаною. Якщо ітераційний процес (4.27) розбіжний, то його не можна використовувати.

Умови збіжності ітераційного процесу (4.27) задає наступна теорема.

Теорема 1 (без доведення). Нехай у деякій замкнутій області (рис. 4.11) існує одна й лише одна пара коренів та системи (4.26).

Якщо:

1) функції , визначені, неперервно диференційовані у ;

2) початкові наближення та всі наступні наближення належать ;

3) у виконані нерівності

то процес послідовних наближень (4.27) збігається до коренів та системи (4.26), тобто та .

Зауваження. Теорема залишається вірною, якщо умову (4.27) замінити умовою

Рис. 4.11 Рис. 4.12

Приклад. Для системи

знайти додатні корені з чотирма значущими цифрами.

Розв’язок. Будуємо графіки функцій та (рис. 4.12).

Наближені значення шуканих коренів .

Для застосування методу ітерації запишемо задану систему рівнянь у наступному вигляді:

Знаходимо частинні похідні:

Тут .

Обмежуючись областю , будемо мати:

Звідси

Отже, якщо послідовні наближення не вийдуть за межі області (що легко встановити у процесі обчислень), то ітераційний процес буде збіжним.

Обчислюємо послідовні наближення за формулами:

Результати обчислень відображені у таблиці:

3,5 2,2
3,479 2,259
3,481 2,260
3,484 2,261
3,486 2,261
3,487 2,262
3,487 2,262

Таким чином, можна прийняти

Зауваження. Замість розглянутого процесу послідовних наближень (4.27) інколи зручно користуватися «процесом Зейделя»:



Читайте також:

  1. D) методу мозкового штурму.
  2. H) інноваційний менеджмент – це сукупність організаційно-економічних методів управління всіма стадіями інноваційного процесу.
  3. I Метод Шеннона-Фано
  4. I. Метод рiвних вiдрiзкiв.
  5. I. Органи і системи, що забезпечують функцію виділення
  6. I. Особливості аферентних і еферентних шляхів вегетативного і соматичного відділів нервової системи
  7. II. Анатомічний склад лімфатичної системи
  8. IV. Розподіл нервової системи
  9. IV. Система зв’язків всередині центральної нервової системи
  10. IV. Філогенез кровоносної системи
  11. POS-системи
  12. VI. Філогенез нервової системи




Переглядів: 632

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Метод ітерації | Концепція інтерполяції та екстраполяції

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

  

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.007 сек.