Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Кільце многочленів

Многочлени від однієї змінної

Многочлени

 

Многочленом ( поліномом: поліс – багато, номе – член) від однієї змінної над цілісним кільцем R називається вираз виду anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0, де n – довільне ціле невід’ємне число, an, an-1, ..., a1, a0 – елементи цілісного кільця R, x, x2,, xn-1, xn – деякі символи.

хk називають k-м степенем змінної (невідомого) х, akk-м коефіцієнтом многочлена, akxkk-м членом многочлена (k = 0,1,...,n); a0 називають ще вільним членом.

Позначають многочлени від змінної х малими латинськими буквами: f(x), g(x), q(x),…, множину всіх многочленів від х над цілісним кільцем R – R[x].

Відмінний від нуля член многочлена f(x), степінь якого більший за степінь усіх інших ненульових членів цього многочлена, називається старшим членом, його коефіцієнт – старшим коефіцієнтом, а його степінь – степенем многочлена f(x). Степ інь многочлена f(x) позначають deg f (degree – степінь).

Форму запису многочлена, впорядкованого за спаданням степеня xk, називають канонічною. Елемент a0 називають многочленом нульового степеня, а елемент 0 нуль-многочленом ( позначають θ(х) = 0).

Нехай задано два многочлени :

 

f(x) = anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 , aiR, i = 0, 1,, n,

g(x) = bmxm+bm-1xm-1+…+b1x+b0, bjR, j = 0,1,, m.

Многочлени f(x) і g(x) називають рівними між собою, якщо канонічні форми цих многочленів співпадають, тобто рівними є степені обох многочленів і їх відповідні коефіцієнти.

Сумоюмногочленів f(x) і g(x) називається многочлен

 

.

 

Добуткоммногочленів f(x) і g(x) називається многочлен

 

де при i›n, при j›m.

Приклад.

cn+m-1=an+mb0 + an+mb1+…+ an+1bm-1 + anbm + an-1bm+1 +…+ a1bm+n-1 + a0bn+m= anbm,

cn+m-1=an+m-1b0 + an+m-2b1+…+ an+1bm-2 + anbm-1 + an-1bm + an-2bm+1 +…+ a0bn+m-1= anbm-1+ an-1bm,

…………

c1= a1b0+ a0b1,

c0= a0b0.

Множина R[x] усіх многочленів над цілісним кільцем R утворює цілісне кільце відносно операцій додавання і множення многочленів.

Дійсно, оскільки додавання і множення многочленів зводиться до виконання аналогічних операцій над їх коефіцієнтами, які є елементами деякого цілісного кільця R, то асоціативність і комутативність додавання і множення многочленів випливають із виконання відповідних властивостей в кільці R. Звідси ж випливає і дистрибутивність множення відносно додавання. Нульовий елемент в множині R[x] існує, це . Отже, R[x] – комутативне кільце. Залишилось показати відсутність дільників нуля. Якщо то якщо то Отже має старший коефіцієнт (оскільки в R немає дільників нуля) і тому не є нуль-многочленом, що й треба довести. Таким чином, R[x] – цілісне кільце.▲

 


Читайте також:

  1. Водокільцеві вакуумні насоси.
  2. Кільце поліномів та його властивості.
  3. Кільцеві та дзвоникові манометри
  4. Мережі з кільцевою топологією.
  5. Подільність многочленів




Переглядів: 1869

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
 | Подільність многочленів

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

  

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.013 сек.