• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Границя функції. Означення границі функції за Гейне й за Коші.

Нехай функція визначена на множині і точка є граничною точкою множини . Виберемо із послідовність точок, відмінних від : збіжну до . Значення функції в точках цієї послідовності також утворюють числову послідовність .

Означення границі функції за Гейне. Число називається границею функції у точці ( або при ), якщо для будь-якої збіжної до послідовності значень аргументу , відмінних від , відповідна послідовність значень функції збігається до числа .

Символічно це записують так: .

Означення границі функції за Коші. Нехай функція визначена в деякому околі точки , крім, можливо, самої точки . Число називається границею функції у точці , якщо для довільного числа існує число таке, що нерівність виконується для всіх , що задовольняють умову .

Означення границі функції за Гейне і за Коші еквівалентні.

Дійсно, нехай згідно з Гейне. Покажемо, що в цьому випадку для довільного числа існує число таке, що нерівність виконується для всіх , що задовольняють умову , тобто що згідно з означенням Коші.

Припустимо протилежне. Нехай існує таке, що для довільного існує точка , для якої з умови випливає нерівність . Розглянемо послідовність , де . Виберемо точки такі, що

(1)

і

. (2)

Оскільки , то , але за нерівністю (2) , що суперечить умові, тобто що згідно з Гейне.

Нехай тепер згідно з Коші. Покажемо, що і згідно з Гейне.

Отже, нехай для будь-якого існує число таке, що із нерівності випливає нерівність . Виберемо довільну послідовність точок збіжну до . Тоді для значення , відповідного , знайдеться такий номер , що для всіх виконуватимуться нерівності і разом із тим . Оскільки вибір був довільним, то це означає, що для довільної послідовності із умови випливає умова , тобто що за Гейне.

Еквівалентність означень границі функції за Гейне і за Коші дає можливість використовувати будь-яке із них залежно від того, яке є більш зручним для розв'язування тієї чи іншої задачі.

Читайте також:

1. Адвокатура в Україні: основні завдання і функції
2. Алгоритм знаходження ДДНФ (ДКНФ) для даної булевої функції
3. Але відмінні від значення функції в точці або значення не існує, то точка називається точкою усувного розриву функції .
4. Аналіз коефіцієнтів цільової функції
5. АРХІВНІ ДОВІДНИКИ В СИСТЕМІ НДА: ФУНКЦІЇ ТА СТРУКТУРА
6. Асимптоти графіка функції
7. Базальні ядра, їх функції, симптоми ураження
8. Базові функції, логічні функції
9. Банки як провідні суб’єкти фінансового посередництва. Функції банків.
10. Банківська система та її основні функції
11. Банківська система та її структура. Функції Центрального банку.
12. Банківська система: сутність, принципи побудови та функції. особливості побудови банківської системи в Україн

Переглядів: 5398