• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Два означення інтегралу. Теореми про загальний вигляд інтегралу та залежність двох інтегралів одного диференціального рівняння.

Рис. 2.4

Приклад 2.3. Знайти особливий розв’язок диференціального рівняння

,

.

Отримали загальний розв’язок в області , в якій виконуються умови теореми Пікара. Але розв’язком буде , який ми отримуємо при . Він не міститься в загальному розв’язку при жодному фіксованому С. Отже, згідно означення - особливий розв’язок.

Якщо неперервна на D, то умови підозрілі на особливий розв’язок : необмеженість похідної . Знайшовши таку криву в подальшому треба переконатися :

1)  вона являється інтегральною кривою;

2)  перевірити, що в кожній її точці порушується єдиність розв’язку.

В прикладі 2.2. при . Поскільки - розв’язок і через нього проходять інтегральні криві з загального розв’язку, то - особливий розв’язок.

Приклад 2.4. Розглянемо диференціальне рівняння

при . Але не є розв’язком диференціального рівняння, тому і не є особливим розв’язком.

Припустимо, що диференціальне рівняння має однопараметричне сімейство інтегральних кривих . Тоді, якщо це сімейство має обвідну, тобто лінію, яка в кожній точці дотикається сімейства і ні на якому участку не співпадає ні з одною кривою сімейства. Ця обвідна і буде особливим розв’язком. Дійсно через довільну її точку проходить по крайній мірі два розв’язки : обвідна і сам розв’язок.

Нехай

(2.22)

загальний розв’язок загального диференціального рівняння (2.3) в області D, в якій виконуються умови теореми Пікара. Тоді на D рівняння (2.22) можна розв’язати відносно С

. (2.23)

Функція приймає постійні значення на довільному частинному розв’язку з D, причому значення постійної визначається частинним розв’язком

. (2.24)

Означення 2.12. (перше означення інтегралу) Функція , визначена на D і яка не зводиться до константи, називається інтегралом диференціального рівняння (2.3) в області D, якщо на довільному частинному розв’язку з D, ця функція приймає постійні значення.

Припустимо, що - диференційовна функція. Тоді на довільному частинному розв’язку

(2.25)

або

(2.26)

При цьому на D так як в противному . А це означає, що поле диференціального рівняння (2.3) в відповідній точці не задано.

Означення 2.13. (друге означення інтегралу). Функція , визначена і неперервна з частинними похідними в області D і така, що в області D, називається інтегралом диференціального рівняння (2.3) в області D, якщо повний її диференціал, взятий в силу диференціального рівняння (2.3), тотожньо дорівнює нулю в області D.

З (2.26) випливає, що

(2.27)

Функція, яка є інтегралом в смислі означення 2.12 буде інтегралом і в смислі означення 2.13. Навпаки не завжди так.

Якщо диференціальне рівняння (2.3) має один інтеграл, то воно має безліч інтегралів.

Теорема 2.1. (про загальний вигляд інтегралу) Якщо інтеграл диференціального рівняння (2.3) в області D і функція диференційовна в D, а - довільна функція визначена і неперервно-диференційовна в області зміни функції коли , то

(2.28)

є інтегралом диференціального рівняння (2.3) в області D.

Доведення.

,

причому в області D. Маємо

(2.29)

З (2.29) випливає, що - інтеграл диференціального рівняння (2.3) згідно означення.

Теорема 2.2. (про залежність двох інтегралів) Нехай два інтеграли диференціального рівняння (2.3). Тоді існує неперервно диференційовна функція F, що

. (2.30)

Доведення. Поскільки інтеграли, то

(2.31)

З (2.31) випливає, що

. (2.32)

Формально (2.32) можна отримати визначаючи dy з одного рівняння системи (2.31) і підставляючи в друге рівняння. З функціонального аналізу відомо, що з умови (2.32) витікає (2.30).

Читайте також:

1. V Процес інтеріоризації забезпечують механізми ідентифікації, відчуження та порівняння.
2. Автокореляція залишків – це залежність між послідовними значеннями стохастичної складової моделі.
3. Аксіоми. Теореми. Ознаки.
4. Алельні гени, знаходячись у гетерозиготному стані, не зливаються, не змінюють один одного і, не втрачаючи своєї індивідуальності, передаються в гамети.
5. Аналіз при наявності одного обмеження
6. Антропогенне забруднення природного середовища. Джерела забруднень
7. Апаратура методу природного магнітного поля
8. АРХІТЕКТУРА НАРОДНОГО ЖИТЛА В УКРАЇНІ.
9. БАЖАННЯ і НАМІРИ - це миттєво виникаючі і досить часто змінюють один одного мотиваційні суб'єктивні стани, що відповідають змінюваних умов виконання дії.
10. Баланс робочого часу одного середньооблікового працівника
11. Безрозмірною характеристикою гідротрансформатора називається залежність коефіцієнтів пропорційності моментів насосного і турбінного коліс від його передаточного відношення.
12. Боротьба за возз’єднання Української держави, за незалежність у 60- 80-х роках XVII ст.

Переглядів: 1203