МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
|||||||
Два означення інтегралу. Теореми про загальний вигляд інтегралу та залежність двох інтегралів одного диференціального рівняння.Рис. 2.4 Приклад 2.3. Знайти особливий розв’язок диференціального рівняння , . Отримали загальний розв’язок в області , в якій виконуються умови теореми Пікара. Але розв’язком буде , який ми отримуємо при . Він не міститься в загальному розв’язку при жодному фіксованому С. Отже, згідно означення - особливий розв’язок. Якщо неперервна на D, то умови підозрілі на особливий розв’язок : необмеженість похідної . Знайшовши таку криву в подальшому треба переконатися : 1) вона являється інтегральною кривою; 2) перевірити, що в кожній її точці порушується єдиність розв’язку. В прикладі 2.2. при . Поскільки - розв’язок і через нього проходять інтегральні криві з загального розв’язку, то - особливий розв’язок. Приклад 2.4. Розглянемо диференціальне рівняння при . Але не є розв’язком диференціального рівняння, тому і не є особливим розв’язком. Припустимо, що диференціальне рівняння має однопараметричне сімейство інтегральних кривих . Тоді, якщо це сімейство має обвідну, тобто лінію, яка в кожній точці дотикається сімейства і ні на якому участку не співпадає ні з одною кривою сімейства. Ця обвідна і буде особливим розв’язком. Дійсно через довільну її точку проходить по крайній мірі два розв’язки : обвідна і сам розв’язок.
Нехай (2.22) загальний розв’язок загального диференціального рівняння (2.3) в області D, в якій виконуються умови теореми Пікара. Тоді на D рівняння (2.22) можна розв’язати відносно С . (2.23) Функція приймає постійні значення на довільному частинному розв’язку з D, причому значення постійної визначається частинним розв’язком . (2.24) Означення 2.12. (перше означення інтегралу) Функція , визначена на D і яка не зводиться до константи, називається інтегралом диференціального рівняння (2.3) в області D, якщо на довільному частинному розв’язку з D, ця функція приймає постійні значення. Припустимо, що - диференційовна функція. Тоді на довільному частинному розв’язку (2.25) або (2.26) При цьому на D так як в противному . А це означає, що поле диференціального рівняння (2.3) в відповідній точці не задано. Означення 2.13. (друге означення інтегралу). Функція , визначена і неперервна з частинними похідними в області D і така, що в області D, називається інтегралом диференціального рівняння (2.3) в області D, якщо повний її диференціал, взятий в силу диференціального рівняння (2.3), тотожньо дорівнює нулю в області D. З (2.26) випливає, що (2.27) Функція, яка є інтегралом в смислі означення 2.12 буде інтегралом і в смислі означення 2.13. Навпаки не завжди так. Якщо диференціальне рівняння (2.3) має один інтеграл, то воно має безліч інтегралів. Теорема 2.1. (про загальний вигляд інтегралу) Якщо інтеграл диференціального рівняння (2.3) в області D і функція диференційовна в D, а - довільна функція визначена і неперервно-диференційовна в області зміни функції коли , то (2.28) є інтегралом диференціального рівняння (2.3) в області D. Доведення. , причому в області D. Маємо (2.29) З (2.29) випливає, що - інтеграл диференціального рівняння (2.3) згідно означення. Теорема 2.2. (про залежність двох інтегралів) Нехай два інтеграли диференціального рівняння (2.3). Тоді існує неперервно диференційовна функція F, що . (2.30) Доведення. Поскільки інтеграли, то (2.31) З (2.31) випливає, що . (2.32) Формально (2.32) можна отримати визначаючи dy з одного рівняння системи (2.31) і підставляючи в друге рівняння. З функціонального аналізу відомо, що з умови (2.32) витікає (2.30). Читайте також:
|
||||||||
|