Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Контакти
 


Тлумачний словник






Два означення інтегралу. Теореми про загальний вигляд інтегралу та залежність двох інтегралів одного диференціального рівняння.

Рис. 2.4

Приклад 2.3. Знайти особливий розв’язок диференціального рівняння

,

.

Отримали загальний розв’язок в області , в якій виконуються умови теореми Пікара. Але розв’язком буде , який ми отримуємо при . Він не міститься в загальному розв’язку при жодному фіксованому С. Отже, згідно означення - особливий розв’язок.

Якщо неперервна на D, то умови підозрілі на особливий розв’язок : необмеженість похідної . Знайшовши таку криву в подальшому треба переконатися :

1)  вона являється інтегральною кривою;

2)  перевірити, що в кожній її точці порушується єдиність розв’язку.

В прикладі 2.2. при . Поскільки - розв’язок і через нього проходять інтегральні криві з загального розв’язку, то - особливий розв’язок.

Приклад 2.4. Розглянемо диференціальне рівняння

при . Але не є розв’язком диференціального рівняння, тому і не є особливим розв’язком.

Припустимо, що диференціальне рівняння має однопараметричне сімейство інтегральних кривих . Тоді, якщо це сімейство має обвідну, тобто лінію, яка в кожній точці дотикається сімейства і ні на якому участку не співпадає ні з одною кривою сімейства. Ця обвідна і буде особливим розв’язком. Дійсно через довільну її точку проходить по крайній мірі два розв’язки : обвідна і сам розв’язок.

 

Нехай

(2.22)

загальний розв’язок загального диференціального рівняння (2.3) в області D, в якій виконуються умови теореми Пікара. Тоді на D рівняння (2.22) можна розв’язати відносно С

. (2.23)

Функція приймає постійні значення на довільному частинному розв’язку з D, причому значення постійної визначається частинним розв’язком

. (2.24)

Означення 2.12. (перше означення інтегралу) Функція , визначена на D і яка не зводиться до константи, називається інтегралом диференціального рівняння (2.3) в області D, якщо на довільному частинному розв’язку з D, ця функція приймає постійні значення.

Припустимо, що - диференційовна функція. Тоді на довільному частинному розв’язку

(2.25)

або

(2.26)

При цьому на D так як в противному . А це означає, що поле диференціального рівняння (2.3) в відповідній точці не задано.

Означення 2.13. (друге означення інтегралу). Функція , визначена і неперервна з частинними похідними в області D і така, що в області D, називається інтегралом диференціального рівняння (2.3) в області D, якщо повний її диференціал, взятий в силу диференціального рівняння (2.3), тотожньо дорівнює нулю в області D.

З (2.26) випливає, що

(2.27)

Функція, яка є інтегралом в смислі означення 2.12 буде інтегралом і в смислі означення 2.13. Навпаки не завжди так.

Якщо диференціальне рівняння (2.3) має один інтеграл, то воно має безліч інтегралів.

Теорема 2.1. (про загальний вигляд інтегралу) Якщо інтеграл диференціального рівняння (2.3) в області D і функція диференційовна в D, а - довільна функція визначена і неперервно-диференційовна в області зміни функції коли , то

(2.28)

є інтегралом диференціального рівняння (2.3) в області D.

Доведення.

,

причому в області D. Маємо

(2.29)

З (2.29) випливає, що - інтеграл диференціального рівняння (2.3) згідно означення.

Теорема 2.2. (про залежність двох інтегралів) Нехай два інтеграли диференціального рівняння (2.3). Тоді існує неперервно диференційовна функція F, що

. (2.30)

Доведення. Поскільки інтеграли, то

(2.31)

З (2.31) випливає, що

. (2.32)

Формально (2.32) можна отримати визначаючи dy з одного рівняння системи (2.31) і підставляючи в друге рівняння. З функціонального аналізу відомо, що з умови (2.32) витікає (2.30).


Читайте також:

  1. V Процес інтеріоризації забезпечують механізми ідентифікації, відчуження та порівняння.
  2. Автокореляція залишків – це залежність між послідовними значеннями стохастичної складової моделі.
  3. Аксіоми. Теореми. Ознаки.
  4. Алельні гени, знаходячись у гетерозиготному стані, не зливаються, не змінюють один одного і, не втрачаючи своєї індивідуальності, передаються в гамети.
  5. Аналіз при наявності одного обмеження
  6. Антропогенне забруднення природного середовища. Джерела забруднень
  7. Апаратура методу природного магнітного поля
  8. АРХІТЕКТУРА НАРОДНОГО ЖИТЛА В УКРАЇНІ.
  9. БАЖАННЯ і НАМІРИ - це миттєво виникаючі і досить часто змінюють один одного мотиваційні суб'єктивні стани, що відповідають змінюваних умов виконання дії.
  10. Баланс робочого часу одного середньооблікового працівника
  11. Безрозмірною характеристикою гідротрансформатора називається залежність коефіцієнтів пропорційності моментів насосного і турбінного коліс від його передаточного відношення.
  12. Боротьба за возз’єднання Української держави, за незалежність у 60- 80-х роках XVII ст.




Переглядів: 845

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Частинні і особливі розв’язки. Знаходження кривих, підозрілих на особливість розв’язку, по диференціальному рівнянню | Розсилка документів

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

 

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.003 сек.