Частинні і особливі розв’язки. Знаходження кривих, підозрілих на особливість розв’язку, по диференціальному рівнянню

Рис. 2.3

Для розв’язування задачі Коші константу С

можна знайти згідно

. (2.18)

Інколи в формулі (2.17) роль С грає у₀, тоді говорять, що розв’язок представлений у формі Коші

. (2.19)

Приклад 2.2. Знайти розв’язок диференціального рівняння

у формі Коші. Загальний розв’язок В указаній області виконуються умови теореми Пікара. Звідки

- розв’язок в формі Коші.

В більшості випадків при інтегруванні диференціального рівняння (2.3) ми отримуємо загальний розв’язок в неявній формі

(або , (2.20)

який називається загальним інтегралом диференціального рівняння (2.3).

Означення 2.9. Будемо називати співвідношення (2.20) загальним розв’язком в неявній формі або загальним інтегралом в області D, якщо співвідношенням (2.20) визначається загальний розв’язок (2.17) диференціального рівняння (2.3) в області D.

З означення випливає, що (2.18) - загальний інтеграл диференціального рівняння (2.3) в області D.

Інколи при інтегруванні отримуємо сімейство інтегральних кривих, залежне від С, в параметричній формі.

(2.21)

Таке сімейство інтегральних кривих будемо називати загальним розв’язком диференціального рівняння (2.3) в параметричній формі.

Якщо в (2.21) виключити t, то отримаємо загальний розв’язок в неявній або явній формі.

Означення 2.10. Розв’язок, який складається з точок єдиності розв’язку задачі Коші називається частинним і його можна отримати з загального при фіксованому С.

Розв’язок задачі Коші, який задовольняє теоремі Пікара, є частинний розв’язок.

Означення 2.11. Розв’язок, в кожній точці якого порушується єдиність розв’язку задачі Коші, будемо називати особливим.

Геометрично особливому розв’язку відповідають інтегральні криві, які не містяться в загальному розв’язку. Тому особливий розв’язок не може існувати всередині області D існування загального розв’язку. Його не можна отримати з формули загального розв’язку ні при яких числових значеннях С, включаючи . Його можна отримати з загального розв’язку лиш при .

Існують ні частинні ні особливі розв’язки. Їх можна отримати шляхом склеювання кусків частинних і особливих розв’язків.

Читайте також:
Алгоритм знаходження ДДНФ (ДКНФ) для даної булевої функції
Алгоритм знаходження оптимального плану
Алгоритм знаходження початкового опорного плану
Виведення формул для знаходження площі паралелограма, трикутника, трапеції. Формули для знаходження площ поверхонь просторових геометричних фігур.
Властивістю продукції називають її об'єктивну особливість, яка може проявлятися при її розробленні, виготовленні, експлуатації або споживанні.
Головною особливістю драйвів є загальна мобілізація рухової системи організму, а основна властивість антидрайвів — демобілізація організму
Знаходження середньозваженості вартості капіталу.
Знаходження швидкості осадження на основі рівняння подібності
Іншою особливістю історії Стародавнього Сходу було те, що поява найдавніших держав (цивілізацій) пов’язується з виникненням міст.
Критерії виду – це характерна ознака, особливість.
Матриця вибору місцезнаходження фірми
Метод Гаусса знаходження оберненої матриці.

Переглядів: 871

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>

Поняття загального розв’язку, форми його запису. | Два означення інтегралу. Теореми про загальний вигляд інтегралу та залежність двох інтегралів одного диференціального рівняння.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.005 сек.