МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
||||||||||||||||||
Поняття загального розв’язку, форми його запису.Рис. 2.2 Задача Коші. Розглянемо диференціальне рівняння (2.3). Задача Коші заключається в тому, щоб серед всіх розв’язків диференціального рівняння (2.3) знайти такий , який проходить через задану точку (2.11) Тут - початкове значення незалежної змінної, - функції. Розв’язати задачу Коші з геометричної точки зору означає (рис. 2.1) : знайти серед усіх інтегральних кривих диференціального рівняння (2.3) ту, яка проходить через задану точку .
Означення 2.7. Будемо говорити, що задача Коші (2.3), (2.11) має єдиний розв’язок, якщо число h>0, що на відрізку визначений розв’язок такий, що і не існує другого розв’язку, визначеного в цьому ж інтервалі і не співпадаючого з розв’язком хоча б в одній точці інтервалу , відмінній від точки . Якщо задача Коші (2.3), (2.11) має не один розв’язок або ж зовсім його не має, то говорять, що в точці порушується єдиність розв’язку задачі Коші. При постановці задачі Коші ми припускаємо, що - обмежені числа, а диференціальне рівняння (2.3) в точці задає деякий напрямок поля, який не паралельний осі ОУ. Якщо права частина диференціального рівняння (2.3) в точці М приймає нескінченне значення, необхідно розглянути диференціальне рівняння (2.3) і
Якщо ж в точці М права частина диференціального рівняння (2.3) має невизначеність, наприклад, типу , тоді звичайна постановка задачі Коші не має смислу, так як через точку М не проходить жодна інтегральна крива. В цьому випадку задача Коші ставиться так : знайти розв’язок (або ), який примикає до точки М. В деяких випадках треба шукати розв’язок , який задовольняє умовам при при і т.д. Теорема Пікара. (без доведення) Припустимо, що функція в диференціальному рівнянні (2.3) визначена і неперервна в обмеженій області і, отже, вона є обмеженою (2.12) функція має обмежену частинну похідну по у на D . (2.13) При цих умовах задача Коші (2.3), (2.11) має єдиний неперервно-диференційовний розв’язок в інтервалі (2.14 Зауваження 2.1. В сформульованій теоремі умову (2.13) можна послабити (замінити) на те, щоб функція по змінній у задовольняла умові Ліпшіца, тобто . (2.15) Тут L>0 - найменша константа яка задовольняє (2.15) і називається константою Ліпшіца . Теорема Пеано. (про існування розв’язку). Якщо функція є неперервною на D, то через кожну точку проходить, по крайній мірі, одна інтегральна крива. Якщо функція диференційовна і задовольняє (2.13), то вона задовольняє умові Ліпшіца, з L=K. Функція може зодовольняти умові Ліпшіца, але не бути диференційовною і, отже, не буде задовольняти (2.13). Наприклад, .
На прикладах можна переконатися, що диференціальне рівняння (2.3) має нескінченну множину розв’язків, яка залежить від деякого параметру с (2.16) Це сімейство і називається загальним розв’язком диференціального рівняння (2.3). При кожному с (2.16) дає інтегральну криву. Для розв’язування задачі Коші (2.3), (2.11) параметр с можна знайти з рівняння . Дамо точне визначення загального розв’язку. Припустимо, що на D виконуються умови теореми Пікара. Означення 2.8. Функцію (2.17) визначену в деякій області змінних х і с, і яка має неперервну частинну похідну по х будемо називати загальним розв’язком диференціального рівняння (2.3) в області D, якщо рівняння (2.17) можна розв¢язати відносно с в області D (2.18) і функція (2.17) є розв’язком диференціального рівняння (2.3) при всіх значеннях довільної сталої с, які визначаються формулою (2.18) коли . Суть означення 2.8 в наступному. Припустимо, що задано сімейство кривих F на області D, яке залежить від одного параметра С. Якщо будь-яка крива із F є інтегральною кривою диференціального рівняння (2.3) і всі криві із F в сукупності покривають D, то F є розв’язком диференціального рівняння (2.3) в області D (рис. 2.3).
Читайте також:
|
|||||||||||||||||||
|