• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Поняття загального розв’язку, форми його запису.

Рис. 2.2

Задача Коші.

Розглянемо диференціальне рівняння (2.3). Задача Коші заключається в тому, щоб серед всіх розв’язків диференціального рівняння (2.3) знайти такий , який проходить через задану точку

(2.11)

Тут - початкове значення незалежної змінної, - функції.

Розв’язати задачу Коші з геометричної точки зору означає (рис. 2.1) : знайти серед усіх інтегральних кривих диференціального рівняння (2.3) ту, яка проходить через задану точку .

Означення 2.7. Будемо говорити, що задача Коші (2.3), (2.11) має єдиний розв’язок, якщо число h>0, що на відрізку визначений розв’язок такий, що і не існує другого розв’язку, визначеного в цьому ж інтервалі і не співпадаючого з розв’язком хоча б в одній точці інтервалу , відмінній від точки .

Якщо задача Коші (2.3), (2.11) має не один розв’язок або ж зовсім його не має, то говорять, що в точці порушується єдиність розв’язку задачі Коші.

При постановці задачі Коші ми припускаємо, що - обмежені числа, а диференціальне рівняння (2.3) в точці задає деякий напрямок поля, який не паралельний осі ОУ.

Якщо права частина диференціального рівняння (2.3) в точці М приймає нескінченне значення, необхідно розглянути диференціальне рівняння (2.3) і

Якщо ж в точці М права частина диференціального рівняння (2.3) має невизначеність, наприклад, типу , тоді звичайна постановка задачі Коші не має смислу, так як через точку М не проходить жодна інтегральна крива. В цьому випадку задача Коші ставиться так : знайти розв’язок (або ), який примикає до точки М.

В деяких випадках треба шукати розв’язок , який задовольняє умовам при при і т.д.

Теорема Пікара. (без доведення) Припустимо, що функція в диференціальному рівнянні (2.3) визначена і неперервна в обмеженій області

і, отже, вона є обмеженою

(2.12)

функція має обмежену частинну похідну по у на D

. (2.13)

При цих умовах задача Коші (2.3), (2.11) має єдиний неперервно-диференційовний розв’язок в інтервалі

(2.14

Зауваження 2.1. В сформульованій теоремі умову (2.13) можна послабити (замінити) на те, щоб функція по змінній у задовольняла умові Ліпшіца, тобто

. (2.15)

Тут L>0 - найменша константа яка задовольняє (2.15) і називається константою Ліпшіца .

Теорема Пеано. (про існування розв’язку). Якщо функція є неперервною на D, то через кожну точку проходить, по крайній мірі, одна інтегральна крива.

Якщо функція диференційовна і задовольняє (2.13), то вона задовольняє умові Ліпшіца, з L=K.

Функція може зодовольняти умові Ліпшіца, але не бути диференційовною і, отже, не буде задовольняти (2.13). Наприклад, .

На прикладах можна переконатися, що диференціальне рівняння (2.3) має нескінченну множину розв’язків, яка залежить від деякого параметру с

(2.16)

Це сімейство і називається загальним розв’язком диференціального рівняння (2.3). При кожному с (2.16) дає інтегральну криву.

Для розв’язування задачі Коші (2.3), (2.11) параметр с можна знайти з рівняння .

Дамо точне визначення загального розв’язку. Припустимо, що на D виконуються умови теореми Пікара.

Означення 2.8. Функцію

(2.17)

визначену в деякій області змінних х і с, і яка має неперервну частинну похідну по х будемо називати загальним розв’язком диференціального рівняння (2.3) в області D, якщо рівняння (2.17) можна розв¢язати відносно с в області D

(2.18)

і функція (2.17) є розв’язком диференціального рівняння (2.3) при всіх значеннях довільної сталої с, які визначаються формулою (2.18) коли .

Суть означення 2.8 в наступному. Припустимо, що задано сімейство кривих F на області D, яке залежить від одного параметра С. Якщо будь-яка крива із F є інтегральною кривою диференціального рівняння (2.3) і всі криві із F в сукупності покривають D, то F є розв’язком диференціального рівняння (2.3) в області D (рис. 2.3).

Читайте також:

1. II. Поняття соціального процесу.
2. V. Поняття та ознаки (характеристики) злочинності
3. А/. Поняття про судовий процес.
4. А/. Форми здійснення народовладдя та види виборчих систем.
5. Автоматизовані форми та системи обліку.
6. Аграрні реформи та розвиток сільського госпо- дарства в 60-х роках XIX ст. — на початку XX ст.
7. Адміністративний проступок: поняття, ознаки, види.
8. Адміністративні провадження: поняття, класифікація, стадії
9. Акредитив та його форми
10. Акти застосування юридичних норм: поняття, ознаки, види.
11. Активні форми участі територіальної громади у вирішенні питань ММС
12. Аналіз комплексних статей витрат: витрат на утримання та експлуатацію устаткуван­ня, цехові, загальногосподарські, поза виробничі витрати.

Переглядів: 676