• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Теореми про середнє.

Рис. 3. Шість членів розкладу

Рис. 2. Чотири члени розкладу

Рис. 1. Два члени розкладу

Подання деяких елементарних функцій за формулою Тейлора.

Застосування формули Тейлора для розкладу функцій у степеневий ряд широко використовується й має величезне значення при проведенні різних математичних розрахунків. Безпосереднє обчислення інтегралів деяких функцій може бути сполучене зі значними труднощами, а заміна функції степеневим рядом дозволяє значно спростити задачу. Знаходження значень тригонометричних, зворотних тригонометричних, логарифмічних функцій також може бути зведене до знаходження значень відповідних багаточленів.

Якщо при розкладі в ряд взяти достатню кількість доданків, то значення функції може бути знайдене з будь-якою наперед заданою точністю. Практично можна сказати, що для знаходження значення будь-якої функції з достатнім ступенем точності (передбачається, що точність, що перевищує 10–20 знаків після десяткової точки, необхідна дуже рідко) досить 4–10 членів розкладу в ряд.

Застосування принципу розкладу в ряд дозволяє робити обчислення на ЕОМ у режимі реального часу, що варте уваги при розв’язанні конкретних технічних задач.

Функція f(x) = e^x.

Знаходимо: f(x) = e^x, f(0) = 1

f¢(x) = e^x, f¢(0) = 1

……………………

f⁽ⁿ⁾(x) = e^x, f⁽ⁿ⁾(0) = 1

Тоді:

Приклад: Знайдемо значення числа е.

В отриманій вище формулі покладемо х = 1.

Для 8 членів розкладу: e = 2,71827876984127003

Для 10 членів розкладу: e = 2,71828180114638451

Для 100 членів розкладу: e = 2,71828182845904553

На графіку показані значення числа е з точністю залежно від числа членів розкладу в ряд Тейлора.

Як видно, для досягнення точності, достатньої для розв’язання більшості практичних задач, можна обмежитися 6–7-ю членами ряду.

Функція f(x) = sin x.

Одержуємо f(x) = sin x; f(0) = 0

f '(x) = cos x = sin ( x + p/2); f '(0) = 1;

f ''(x) = – sin x = sin ( x + 2(p/2); f ''(0) = 0;

f '''(x) = – cos x = sin ( x + 3(p/2); f '''(0)= – 1;

…………………………………………

f ⁽ⁿ⁾(x) = sin (x + pn/2); f⁽ⁿ⁾(0) = sin (pn/2);

f ⁽ⁿ⁺¹⁾(x) = sin (x + (n + 1)p/2); f⁽ⁿ⁺¹⁾(e) = sin (e + (n + 1)p/2);

Отже:

Функція f(x) = cos x.

Для функції cos x, застосувавши аналогічні перетворення, одержимо:

Функція f(x) = (1 + x)^a.

(a – дійсне число)

…………………………………………………......

Тоді:

Якщо в отриманій формулі прийняти a = n, де n – натуральне число й f ⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=0, то R_n+1 = 0, тоді

Вийшла формула, відома як біном Ньютона.

Приклад: Застосувати отриману формулу для знаходження синуса будь-якого кута з будь-яким ступенем точності.

На наведених нижче графіках представлене порівняння точного значення функції й значення розкладу в ряд Тейлора при різній кількості членів розкладу.

Рис. 4. Десять членів розкладу

Щоб одержати найбільш точне значення функції при найменшій кількості членів розкладу треба у формулі Тейлора як параметр а вибрати таке число, що досить близько до значення х, і значення функції від цього числа легко обчислюється.

Для приклада обчислимо значення sin20⁰.

Попередньо переведемо кут 20⁰ у радіани: 20⁰ = p/9.

Застосуємо розклад в ряд Тейлора, обмежившись трьома першими членами розкладу:

У чотиризначних таблицях Брадіса для синуса цього кута зазначене значення 0,3420.

На графіку показана зміна значень розкладу в ряд Тейлора залежно від кількості членів розкладу. Як видно, якщо обмежитися трьома членами розкладу, то досягається точність до 0,0002.

Вище говорилося, що при функція sin x є нескінченно малою й може при обчисленні бути замінена на еквівалентну їй нескінченно малу функцію х. Тепер видно, що при х, близьких до нуля, можна практично без втрати в точності обмежитися першим членом розкладу, тобто .

Приклад: Обчислити sin28⁰13¢15¢¢.

Для того, щоб представити заданий кут у радіанах, скористаємося співвідношеннями:

1⁰ = ; 28⁰ ;

1¢ ; ;

; ;

радіан

Якщо при розкладанні за формулою Тейлора обмежитися трьома першими членами, одержимо: sin x = .

Порівнюючи отриманий результат з точним значенням синуса цього кута,

sin = 0,472869017612759812,

бачимо, що навіть при обмеженні всього трьома членами розкладу, точність склала 0,000002, що цілком достатньо для більшості практичних технічних задач.

Функція f(x) = ln(1 + x).

Одержуємо: f(x) = ln(1 + x); f(0) = 0;

f¢(x) = ;

………………………………………

Разом:

Отримана формула дозволяє знаходити значення будь-яких логарифмів (не тільки натуральних) з будь-яким ступенем точності. Нижче представлений приклад обчислення натурального логарифма ln 1,5. Спочатку отримане точне значення, потім – розрахунок по отриманій вище формулі, обмежившись п'ятьма членами розкладу. Точність досягає 0,0003.

ln 1,5 = 0,405465108108164381

Розклад різних функцій за формулами Тейлора й Маклорена наводиться в спеціальних таблицях, однак, формула Тейлора настільки зручна, що для переважної більшості функцій розклад може бути легко знайдене безпосередньо.

Нижче будуть розглянуті різні застосування формули Тейлора не тільки до наближених подань функцій, але й до розв’язку диференціальних рівнянь і до обчислення інтегралів.

Застосування диференціала до наближених обчислень.

Диференціал функції y = f(x)залежить від Dх і є головною частиною приросту Dх.

Також можна скористатися формулою

Тоді абсолютна похибка

Відносна похибка

Більш докладне застосування диференціала до наближених обчислень буде описано нижче.

Теорема Ролля.

(Ролль (1652–1719) – французький математик)

Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a, b], диференційована на інтервалі (а, b) і значення функції на кінцях відрізка рівні f(a) = f(b), то на інтервалі (а, b) існує точка e, a < e < b, у якій похідна функція f(x) рівна нулю, f¢(e) = 0.

Геометричний зміст теореми Ролля полягає в тому, що при виконанні умов теореми на інтервалі (a, b) існує точка e така, що у відповідній точці кривої y = f(x) дотична паралельна осі Ох. Таких точок на інтервалі може бути й трохи, але теорема затверджує існування принаймні однієї такої точки.

Доведення. По властивості функцій, неперервних на відрізку функція f(x) на відрізку [a, b] приймає найбільше й найменше значення. Позначимо ці значення М і m відповідно. Можливі два різних випадки М = m і M ¹ m.

Нехай M = m. Тоді функція f(x) на відрізку [a, b] зберігає постійне значення й у будь-якій точці інтервалу її похідна дорівнює нулю. У цьому випадку за e можна прийняти будь-яку точку інтервалу.

Нехай М = m. Тоді значення на кінцях відрізка рівні, то хоча б одне зі значень М або m функція приймає усередині відрізка [a, b]. Позначимо e, a < e < b точку, у якій f(e) = M. Тому що М – найбільше значення функції, то для кожного Dх ( будемо вважати, що точка e + Dх перебуває усередині розглянутого інтервалу) вірна нерівність:

При цьому

Але тому що за умовою похідна в точці e існує, то існує й границя .

Оскільки і , то можна зробити висновок:

Теорему доведено.

Теорема Ролля має кілька наслідків:

1) Якщо функція f(x) на відрізку [a, b] задовольняє теоремі Ролля, причому f(a) = f(b) = = 0, то існує принаймні одна точка e, a < e < b, така, що f ¢(e) = 0. Тобто між двома нулями функції знайдеться хоча б одна точка, у якій похідна функції дорівнює нулю.

2) Якщо на розглянутому інтервалі (а, b) функція f(x) має похідну (n–1)-го порядку й n раз обертається в нуль, то існує принаймні одна точка інтервалу, у якій похідна (n – 1)-го порядку дорівнює нулю.

Теорема Лагранжа.

(Жозеф Луї Лагранж (1736–1813) французький математик)

Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a, b] і диференційована на інтервалі (а, b), то на цьому інтервалі найдеться принаймні одна точка e a < e < b, така, що .

Це означає, що якщо на деякому проміжку виконуються умови теореми, то відношення приросту функції до приросту аргументу на цьому відрізку дорівнює значенню похідної у деякій проміжній точці.

Розглянута вище теорема Ролля є частковим випадком теореми Лагранжа.

Відношення дорівнює кутовому коефіцієнту січної АВ.

у

В

А

0 а e b x

Якщо функція f(x) задовольняє умовам теореми, то на інтервалі (а, b) існує точка e така, що у відповідній точці кривої y = f(x) дотична паралельна січній, що з'єднує точки А і В. Таких точок може бути й трохи, але одна існує точно.

Доведення. Розглянемо деяку допоміжну функцію

F(x) = f(x) – y_{сек АВ}

Рівняння січної АВ можна записати у вигляді:

Функція F(x) задовольняє теоремі Ролля. Дійсно, вона неперервна на відрізку [a, b] і диференційована на інтервалі (а, b). За теоремою Ролля існує хоча б одна точка e, a < e < b, така що F¢(e) = 0.

Оскільки , то , отже

Теорему доведено.

Читайте також:

1. Аксіоми. Теореми. Ознаки.
2. Булеві теореми та закони
3. Граничні теореми у схемі Бернуллі
4. Два означення інтегралу. Теореми про загальний вигляд інтегралу та залежність двох інтегралів одного диференціального рівняння.
5. Двополюсники. Теореми про активний двополюсник.
6. Додавання і віднімання невід’ємних раціональних чисел. Теореми про існування та єдиність суми і різниці. Властивості (закони) додавання.
7. Додавання, віднімання, множення і ділення цілих чисел. Теореми про існування та єдиність цих операцій. Закони операцій додавання і множення.
8. Доказ теореми 8.
9. ЗАСТОСУВАННЯ ТЕОРЕМИ ОСТРОГРАДСЬКОГО - ГАУССА
10. Лекція№7, 8.Диференціальне числення функцій однієї змінної. Похідна. Диференціал. Основні теореми диференціального числення.
11. Локальна та інтегральна теореми Муавра - Лапласа. Формула Пуассона
12. Множення і ділення невід’ємних раціональних чисел. Теореми про існування та єдиність добутку та частки. Властивості (закони) множення.

Переглядів: 955