• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Локальна та інтегральна теореми Муавра - Лапласа. Формула Пуассона

Лекція 4 Схема незалежних випробувань. Формула Бернуллі.

Домашнє завдання

3.1 У збиральника є 85 деталей, 31 з яких виготовлено у першому цеху, 29-удругому і 25 - у третьому. Ймовірність того, що деталь виготовлена у першому цеху стандартна, дорівнює 0,9, для другого цеху - 0,8 і для третього - 0,85. Яка ймовірність того, що навмання взята збиральником деталь не стандартна?

3.2 Є дві урни: в першій 30 білих і 20 чорних кульок, в другій 40 білих і 35 чорних. З першої урни в другу перекладають не дивлячись одну кульку. Після цього з другої урни беруть одну кульку. Знайти ймовірність того, що кулька чорна.

3.3 Деталі для збірки вузлу виготовляються на двох станках, з яких перший виробляє 80% деталей, а другий - 20%. Перший станок виробляє в середньому 4% бракованих деталей, а другий - 3%. Знайти ймовірність того, що навмання взята деталь доброякісна.

3.4 При розриві снаряду виникає 6% крупних осколків, 57% - середніх і 37% -дрібних. Ймовірність пробивання броні крупним осколком дорівнює 0,7, середнім — 0,2, дрібним 0,001 Відомо, що у броню потрапив один осколок. Визначіть ймовірність того, що броня пробита.

3.5 На двох автоматах виготовляються однакові деталі, які надходять на загальний конвейєр. Продуктивність першого автомату втричі більше продуктивності другого. Перший автомат в середньому виготовляє 95% деталей першого гатунку, а другий 97%. Взята навмання деталь опинилась першогу гатунку. Знайти ймовірність того, що ця деталь виготовлена другим автоматом.

3.6 Є три партії деталей по 50 штук у кожній. Кількість стандартних деталей упершій, другій і третій партіях відповідно дорівнює 49, 48, 40. З довільно вибраної партії навмання витягнута деталь, яка опинилася стандартною. Знайти ймовірність того, що деталь була витягнута з третьої партії.

На практиці досить часто використовують схему однакових незалежних випробувань, в кожному з яких повна подія А настає з однією і тією ймовірністю. При цьому знаходять ймовірність того , що в n випробуваннях подія А настає k разів ( 0 ≤ k ≤ n ) . Розглянемо подію В₁ , в якій перші k разів подія А настала, а потім в n – k випробуваннях не настала, тобто

В₁ =

Ураховуючи незалежність подій, маємо

Р (В₁) = p^k q ^n-k (q = 1 – p ).

Кількість варіантів, в яких А настає k разів, а не настає n –k разів, становить . На основі теореми додавання ймовірностей маємо формулу Бернуллі

Приклад

У цеху п’ять верстатів. Ймовірність того, що кожен з них працює, p=0,8. Знайти ймовірність того, що з них працює k =0, 1, 2, 3 , 4, 5 верстатів.

Розв’язування. Згідно з формулою Бернуллі

Р₅ (0) = ; Р₅ (1) = ;

Р₅ (2) = ; Р₅ (3) = ;

Р₅ (4) = ; Р₅ (5) = ;

Перевіримо, (похибка внаслідок округлення результатів), оскільки події утворюють повну групу.

З цього прикладу випливає, що існує таке k = k₀, якому відповідає найбільша ймовірність. Таке значення k₀ називають найімовірнішим числом появи події А . Можна довести, що np – q ≤ k₀ ≤ np + р

Схему Бернуллі слід відрізняти від інших аналогічних.

Приклад

У мисливця п’ять патронів . Він стріляє до першого влучення. Знайти ймовірність того, що буде витрачено k =1, 2, 3 патрони, якщо ймовірність влучення p = 0,8.

Розв’язування. Наведена схема - це не схема Бернуллі, оскільки вилучений випадок k = 0, тому формулу Бернуллі застосовувати не можна.

За умовою задачі маємо Р₃ (1) = р = 0,8. Далі знаходимо

Р₃ (2) = (перший патрон – промах, другий – влучення). Нарешті,

При великій кількості випробувань n формулою Бернуллі користуватися незручно. Для цих значень n є формули, за якими можна наближено обчислити ймовірність за схемою Бернуллі. Такими є формули Лапласа, які задаються відповідними теоремами (подаємо їх без доведення):

Локальна теорема Муавра-Лапласа Якщо ймовірність появи події в схемі Бернуллі дорівнює р ( р ≠ 0, р ≠ 1), а n велике, то

Функція - функція Гаусса. Ця функція затабульована (див. додатки) і має такі властивості:

1. > 0 .

2. — парна, .

3. max

4. Вісь х =0 є асимптотою графіка ( lim = 0, х → ∞).

5. ≈ 0 при х > 4 , x < - 4, що випливає з обчислень чи з аналізу таблиці значень функції .

Приклад

Знайти імовірність того ,що з n= 100 зернин зійде рівно k = 80, якщо їх схожість р = 0,8.

Розв’язування. Згідно з формулою Лапласа, а також з таблицею ,маємо

Інтегральна теорема Муавра-Лапласа Якщо ймовірність появи події в схемі Бернуллі дорівнює р ( р ≠ 0, р ≠ 1), то ймовірність того, що ця подія настане від k₁ до k₂ разів, дорівнює

i= 1, 2 ,

Функція -функція Лапласа. Ця функція затабульована (див. додатки) і має такі властивості:

1.Ф (х) — непарна, Ф ( -х) = - Ф (х).

2. Ф (0) = 0.

3. Ф (х) зростає на ( - ∞‚ ∞ ), оскільки Ф(х) > 0.

4. Ф (х) ≈ 1/2 при х > 5, Ф (х) ≈ - 1/2 при х < - 5.

Приклад

Металургійний завод дістав замовлення, для виконання якого необхідно провести 90 кондиційних плавок. Ймовірність того, що плавка буде кондиційною, р = 0,9. Тому вирішили зробити n =100 плавок. Йдеться про ймовірність Р₁₀₀ (90,100) , для якої ,згідно з інтегральною теоремою, маємо

Р₁₀₀ (90,100) = Ф (3,33) – Ф (0) ≈ 0,4994.

Як бачимо, дістали не таку вже й велику ймовірність.

Наступна теорема містить ще одну формулу, аналогічну формулі Бернуллі.

Формула Пуассона.Якщо в схемі випробувань Бернуллі р мале

( р< 0,1), n велике, тобто n p < 10, то

Р_n (k) ≈ е^{- а} а^k / k !, а = np

Читайте також:

1. Абсолютні й відносні посилання у формулах
2. Аксіоми. Теореми. Ознаки.
3. Барометрична формула
4. Барометрична формула. Розподіл Больцмана частинок у зовнішньому потенціальному полі
5. Булеві теореми та закони
6. Втрати енергії вздовж круглого трубопроводу. Формула Пуазейля і коефіцієнт Дарсі.
7. Граничні теореми у схемі Бернуллі
8. Два означення інтегралу. Теореми про загальний вигляд інтегралу та залежність двох інтегралів одного диференціального рівняння.
9. Двополюсники. Теореми про активний двополюсник.
10. Додавання і віднімання невід’ємних раціональних чисел. Теореми про існування та єдиність суми і різниці. Властивості (закони) додавання.
11. Додавання, віднімання, множення і ділення цілих чисел. Теореми про існування та єдиність цих операцій. Закони операцій додавання і множення.
12. Доказ теореми 8.

Переглядів: 2531