• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Граничні теореми у схемі Бернуллі

Схема та формула Бернуллі

Тема 4. Повторення випробувань

Послідовно, по сходинках із граничних теорем піднімемось мов у ліфті до центральних теорем.

У багатьох задачах теорії імовірностей, статистики та повсякденної практики треба досліджувати послідовність (серію) n випробувань. Наприклад, випробування "кинуто 1000 однакових монет" можна розглядати як послідовність 1000 більш простих випробувань - "кинута одна монета". При киданні 1000 монет імовірність появи герба або надпису на одній монеті не залежить від того, що з'явиться на інших монетах. Тому можна казати, що у цьому випадку випробування повторюються 1000 разів незалежним чином.

Означення 1. Якщо усі п випробувань проводити в однакових умовах і імовірність появи події А в усіх випробуваннях однакова та не залежить від появи або не появи А в інших випробуваннях, то таку послідовність незалежних випробувань називають схемою Бернуллі.

Нехай випадкова подія А може з'явитись у кожному випробуванні з імовірністю Р(А) = р або не з'явитись з імовірністю q = Р() = 1 - р.

Поставимо задачу: знайти імовірність того, що при n випробуваннях подія А з'явиться m разів і не з'явиться n - m разів. Шукану імовірність позначимо Р_n(m).

Спочатку розглянемо появу події А три рази в чотирьох випробуваннях. Можливі такі події

ААА, ААА, ААА, ААА,

Тобто їх 4 = .

Якщо подія А з'явилася 2 рази в 4 випробуваннях, то можливі такі події

АА, АА, АА, АА, АА, АА,

Їх буде6 = .

У загальному випадку, коли подія А з'являється m разів у n випробуваннях, таких складних подій буде

.

Обчислимо імовірність однієї складної події, наприклад,

А·А···А·····.

m n—m

Імовірність сумісної появи n незалежних подій дорівнює добутку імовірностей цих подій згідно з теоремою множення імовірностей, тобто

Р(А·А···А·····) = Р(А·А···А) · Р(····) = P^m(A) ·Р^n-m() = p^m ·q^n-m.

m n—m m n—m

Кількість таких складних подій і вони несумісні. Тому, згідно з теоремою додавання імовірностей несумісних подій, маємо

P_n(m) = · p^m ·q^n-m. (4.1)

Формулу (4.1) називають формулою Бернуллі. Вона дозволяє знаходити імовірність появи події A m разів при n випробуваннях, які утворюють схему Бернуллі.

Зауваження 1.Імовірність появи події А в п випробуваннях схеми Бернуллі менш т разів знаходять за формулою

P_n(k < m) = Р_n(0) + Р_n(1) + … + Р_n (m - 1).

Імовірність появи події А не менше т разів можна знайти за формулою

P_n(k > m) = Р_n(m) + Р_n(m+1) + … + Р_n (n),

або за формулою

P_n(k > m) = 1 - .

Імовірність появи події А хоча б один раз у п випробуваннях доцільно знаходити за формулою

P_n(1≤ m ≤ n) = 1 - qⁿ.

Зауваження 2. У багатьох випадках треба знаходити найбільш імовірне значення то числа т появ події А. Це значення т визначається співвідношеннями

пр - q < m₀ < пр + р або (п + 1)р - 1 < m₀ < (n + 1)р.

Число m₀ повинно бути цілим. Якщо (п + 1)р - ціле число, тоді найбільше значення імовірність має при двох числах

т₁ = (n +1)р - 1 та т₂ = (п + 1)р.

Зауваження 3. Якщо імовірність появи події А в кожному випробуванні дорівнює р, то кількість n випробувань, які необхідно здійснити, щоб з імовірністю Р можна було стверджувати, що подія А з'явиться хоча б один раз, знаходять за формулою

n > .

Приклад 1.Прилад складено з 10 блоків, надійність кожного з них 0,8. Блоки можуть виходити з ладу незалежно один від одного. Знайти імовірність того, що

а) відмовлять два блоки;

б) відмовить хоча б один блок;

в) відмовлять не менше двох блоків.

Розв’язання. Позначимо за подію А відмову блока. Тоді імовірність події А за умовою прикладу буде

Р(А) = р = 1 -0,8 = 0,2, тому q = 1 -р = 1 -0.2 = 0.8.

Згідно з умовою задачі n = 10. Використовуючи формулу Бернуллі та Зауваження 1, одержимо

а) Р₁₀(2) = · p² ·q⁸ =· (0.2)² (0.8)⁸ = 0.202,

б) Р₁₀(1<m≤10) = 1 - Р₁₀(0) =1 - ·(0.2)⁰ (0.8)¹⁰ = 0.8926,

в) Р₁₀(2≤m≤10) = 1 – (Р₁₀(0) + Р₁₀(1)) = 1 – (·(0.2)⁰ (0.8)¹⁰ + +·(0.2)¹ (0.8)⁹) = 0.6244.

Приклад 2.За одну годину автомат виготовляє 20 деталей. За скільки годин імовірність виготовлення хоча б однієї бракованої деталі буде не менше 0.952, якщо імовірність браку будь-якої деталі дорівнює 0.01?

Розв’язання. Застосовуючи формулу (2), знайдемо спочатку таку кількість виготовлених деталей, щоб з імовірністю р = 0.952 можна було стверджувати про наявність хоча б однієї бракованої деталі, якщо імовірність браку за умовою р = 0.01

n≥

Отже, за час t = 300/20 = 15 (годин) автомат з імовірністю 0.952 виготовить хоча б одну браковану деталь.

Приклад 3.При новому технологічному процесі 80% усієї виготовленої продукції має найвищу якість. Знайти найбільш імовірне число виготовлених виробів найвищої якості серед 250 виготовлених виробів.

Розв’язання. Позначимо шукане число m₀. Згідно Зауваження 2

пр - q ≤ m₀ ≤ пр + q.

За умовою прикладу n = 250, р = 0.8, q = 0.2, тому

199.8 ≤ m₀ ≤ 200.8.

Але m₀ повинно бути цілим числом, тому m₀ = 200.

Знаходження імовірностей Р_п(m) та P_n(m₁≤m≤m₂) за формулою Бернуллі ускладнюється при досить великих значеннях п та при малих р або q. У таких випадках часто можна використовувати замість формули Бернуллі наближені асимптотичні формули.

Вкажемо без доведення три граничні теореми, які містять наближені формули для імовірностей

Р_n(m) та P_n(m₁≤m≤m₂).

Теорема 1. (Теорема Пуассона.)Якщо п →∞ і р →0 так, що пр→λ , 0< λ <∞, то

для будь-якого постійного n = 0,1,2, …

Наслідок. Імовірність появи події А т разів у n випробуваннях схеми Бернуллі можна знаходити за наближеною формулою Пуассона

, (4.2)

де λ = пр.

Формулу (4.2) доцільно застосовувати при великих п та малих р.

Приклад 4.Підручник надруковано тиражем 100000 екземплярів. Імовірність невірного брошурування підручника дорівнює 0.0001. Знайти імовірність того, що тираж має 5 бракованих підручників.

Розв’язання. Брошурування кожного підручника можна розглядати як випробування. Випробування незалежні і мають однакову імовірність невірного брошурування, тому задача вкладається у схему Бернуллі. Згідно з умовою задачі n = 100000 досить велике; р = 0.0001 мала; m = 5.

Застосовуючи формулу Пуассона (4.2), одержимо

Р₁₀₀₀₀₀(5) ==0.0375.

Для наведення ще двох граничних теорем треба спочатку визначити локальну та інтегральну функції Лапласа та ознайомитись з їх основними властивостями,

Означення 2.Локальною функцією Лапласа називають функцію вигляду

Читайте також:

1. Аксіоми. Теореми. Ознаки.
2. Булеві теореми та закони
3. Використання квітів, яких немає в колірній схемі
4. Витрати виробництва та їх структура. Суть, види витрат. Закон спадної віддачі. Середні та граничні витрати.
5. Граничні витрати ресурсу і максимізація прибутку виробника
6. Граничні витрати та граничний дохід
7. Граничні витрати та граничний дохід
8. Граничні норми підіймання і переміщення важких речей неповнолітніми
9. Граничні норми підіймання та переміщення вантажів непованолітніми під час короткочасної та тривалої роботи
10. Граничні норми сумарної ваги ванажу для підлітків у розрахунку на 1 годину робочого часу
11. Два означення інтегралу. Теореми про загальний вигляд інтегралу та залежність двох інтегралів одного диференціального рівняння.

Переглядів: 2632