• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Формули повної імовірності та Байеса

Теорема 6. Якщо випадкова подія А може з'явитись лише сумісно з однією із несумісних між собою подій В₁, В₂,..., B_n що утворюють повну групу, тоді імовірність події А обчислюється за формулою

(3.12)

Доведення.За умовою теореми поява події A означає появу однієї з подій АВ₁, АВ₂, . . ., АВ_n, тобто

А = АВ₁ U АВ₂ U…U АВ_п,

Події В₁, В₂,…, В_п несумісні, тому й події АВ₁, АВ₂, . . ., АВ_n також несумісні. Згідно з теоремою додавання імовірностей несумісних подій маємо

Р(А) = Р(АВ₁ U АВ₂ U…U АВ_п,) = (3.13)

Події А та B_k - залежні, тому для обчислення P(AB_k) можна використати теорему множення імовірностей залежних подій, тобто

Р(АВ_k) = P(B_k)P_Bk(A). (3.14)

Підставимо (3.14) у формулу (3.13) і одержимо рівність (3.12), яку треба було довести.

Формулу (3.12) називають формулою повної імовірності.

Приклад 10. У першому ящику 20 деталей, з яких 15 стандартних. У другому ящику 10 деталей, з яких 9 стандартних. З другого ящика беруть навмання одну деталь і перекладають її до першого ящика. Знайти імовірність того, що взята після цього навмання деталь з першого ящика стандартна.

Розв’язання. Позначимо такі події: А - з першого ящика взято стандартну деталь; В₁- з другого ящика переклали до першого стандартну деталь; В₂ - з другого ящика переклали до першого нестандартну деталь.

Згідно з умовою задачі, з першого ящика можна взяти деталь лише після того, як здійсниться подія В₁ або подія В₂.

Події В₁ та В₂ несумісні, а подія А може з'явитись лише сумісно з однією із них. Тому для знаходження імовірності події А можна використати формулу повної імовірності (3.12), яка у даному випадку прийме вигляд

Р(А) = Р(В₁)Р_В1(А) + Р(В₂)Р_В2(А). (3.15)

Знайдемо потрібні імовірності

Р(В₁)=9/10; Р(В₂)=1/10; Р_В1(А) = 16/21; Р_В2(А) =15/21.

Підставимо ці значення у формулу (3.15) і одержимо

Р(А) =

Тепер ознайомимось з формулами Байєса.

В умовах теореми 6 невідомо, з якою подією із несумісних подій В₁, В₂,…, В_п з’явиться подія А. Тому кожну з подій В₁, В₂,…, В_п можна вважати гіпотезою. Тоді Р(В_k) – імовірність k-ої гіпотези.

Якщо випробування проведено і в результаті його подія А з'явилась, то умовна імовірність Р_А(В_k) може не дорівнювати Р(В_k). Порівняння імовірностей Р(В_k) та Р_А(В_k) дозволяє переоцінити імовірність гіпотези при умові, що подія А з'явилася.

Для одержання умовної імовірності використовуємо теорему множення імовірностей залежних подій

P(AB_k) = P(B_k)P_Bk(A) = P(A)P_A(B_k) → P_A(B_k) = (3.16)

Підставимо у формулу (3.16) замість Р(А) її значення з формули повної імовірності. Одержимо

P_A(B_k) = л =1, 2,..., n. (3.17)

Формули (3.17) називаютьформулами Байєса.Вони дозволяють переоцінювати імовірності гіпотез. Це важливо при контролі або ревізіях.

Приклад 11.Деталі, виготовлені цехом заводу, попадають для перевірки їх стандартності до одного з двох контролерів. Імовірність того, що деталь попаде до першого контролера, дорівнює 0.6, а до другого - 0.4. Імовірність того, що придатна деталь буде признана стандартною першим контролером, дорівнює 0.94, а другим - 0.98.

Придатна деталь при перевірці признана стандартною. Знайти імовірність того, що деталь перевіряв перший контролер.

Розв’язання. Позначимо такі події: А - придатна деталь признана стандартною; В₁ - деталь перевіряв перший контролер; В₂ - деталь перевіряв другий контролер. За умовою прикладу

Р(В₁) = 0.6; Р(В₂) = 0.4; Р_В1(А) =0,94; Р_В2(А) = 0.98.

За формулою Байєса (4.12) при k = 1 одержимо

P_A(B₁) =

Відмітимо, що до появи події А імовірність Р(В₁)=0,6, а після появи події А імовірність перевірки деталі першим контролером P_A(B₁) = 0.59 поменшала.

Приклад 12. Імовірність знищення літака з одного пострілу для першої гармати дорівнює 0.2, а для другої гармати - 0.1. Кожна гармата робить по одному пострілу, причому було одне влучення у літак. Яка імовірність того, що влучила перша гармата?

Розв’язання.Позначимо такі події: А - знищення літака з одного пострілу першою гарматою; В - знищення літака з одного пострілу другою гарматою; С - одне влучення у літак. Маємо чотири гіпотези

H₁ =A•B; H₂ =A•; H₃ =•B; H₄ =•

які утворюють повну групу подій. Імовірностями цих гіпотез будуть

Р(H₁) = 0.2 • 0.1 = 0.02; Р(H₂) = 0.2 • 0.9 = 0.18;

Р(H₃) = 0.8 • 0, 1 = 0.08; Р(H₄) = 0.8 - 0.9 = 0.72.

Так як сума H₁ + H₂ + H₃ + H₄ є достовірна подія, то

P(H₁) + P(H₂ )+ P(H₃) + P(H₄) =1.

Умовні імовірності події С будуть

P_H1(С) = 0; P_H2(С) = 1; P_H3(С) = 1; P_H4(С) = 0.

Тепер за формулою Байєса знаходимо шукану ймовірність

P_С(H₂) =

Читайте також:

1. Акціонерні товариства випускають облігації на суму не більше 25 % від розміру статутного капіталу і лише після повної оплати всіх випущених акцій.
2. Безпосереднє обчислення з використанням формули Ньютона-Лейбніца.
3. Введення формули в комірку.
4. Виведення формул для знаходження площі паралелограма, трикутника, трапеції. Формули для знаходження площ поверхонь просторових геометричних фігур.
5. Визначення імовірності партії вантажу, для перевезення якої необхідним є автомобіль відповідної вантажопідйомності.
6. Вітальні формули
7. Деякі поняття теорії імовірності
8. Електронні формули
9. За повної зайнятості безробіття існує, але воно є природним.
10. Загальні хімічні формули
11. Із формули (5.4) випливає, що амплітуда результуючого коливання визначається не тільки амплітудами коливань, що додаються, а й змінюється залежно від різниці їхніх початкових фаз.
12. Ймовірність гіпотез. Формули Байєса

Переглядів: 2204