• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Деякі поняття теорії імовірності

Імовірнісний апарат теорії масового обслуговування

Випадкова величина – це величина, що в результаті досліду приймає одне з множини значень, до того ж появу того чи іншого значення цієї величини до її зміни точно передбачити не можна [6].

Випадкова подія – підмножина множини результатів випадкового експерименту, за умови багаторазового повторення випадкового експерименту, частота настання події служить оцінкою її імовірності [6]. Позначається великими літерами латинського алфавіту. Тобто випадкова подія - це будь-який факт, який в досліді з випадковим результатом може відбутися чи не відбутися [7].

Множина подій утворює повну групу подій, якщо внаслідок кожного випробування хоч одна із цих подій напевно відбудеться.

Події називаються попарно несумісними в даному випробуванні, якщо ніякі дві з них не можуть відбутися разом.

Дві події називаються протилежними, якщо одна, і тільки одна, з них обов’язково здійсниться в даному випробуванні.

Подія А називається незалежноювід події B, якщо настання події А не залежить від того, відбулась чи ні подія B.

Вірогідною називається подія, яка внаслідок випробування обов’язково має відбутися, а неможливою— подія, яка внаслідок даного випробування не може відбутися.

Випадковий процес (випадкова функція) – сімейство випадкових величин, що проіндексовано певним параметром. Якправило, індексуючий параметр – це час або координати.

Імовірність події – це число, що характеризує степінь можливості виникнення цієї події [7]. За класичним визначенням, імовірність події А – відношення кількості випадків, які сприяють цій події, і кількості всіх рівноможливих несумісних подій, які утворюють повну групу подій під час певного випробування.

, (1.1)

де n — загальна кількість рівноможливих і несумісних подій, які утворюють повну групу, m — число елементарних випадків, які сприяють події A [10], тобто, поява цього випадку тягне за собою появу події A.

Але імовірність події за цією формулою можна обраховувати лише у випадку, коли різні результати експерименту мають властивість симетричності, тобто об’єктивно однаково можливі. Як правило це не можливо. Тому розрізняють статистичну та математичну імовірності. Наприклад, якщо кидати монету, то математична імовірність випадання герба рівна 1/5, в результаті експерименту ми можемо отримати інше значення, що буде являтися статистичною імовірністю.

Якщо проводиться експеримент, що являє собою серію з дослідів (наприклад 10 підкидань монетки), в кожному з яких може з’явитися чи не з’явитися подія A, то частотою події A в даній серії дослідів є відношення кількості дослідів в яких з’явилася подія A до загального числа проведених дослідів [12]:

, (1.2)

де – кількість проведених дослідів (а не можливих випадків, як в формулі (1.1)), – кількість дослідів, в яких з’явилася подія A.

Саме частоту події називають її статистичною імовірністю. Якщо кількість дослідів невелика, то статистична імовірність носить досить випадковий характер. При збільшенні числа проведених дослідів, частота події (статистична імовірність) стабілізується та наближається до певного числа, що можна назвати наближеним значенням імовірності. Але фізично можливо, що при проведенні великої кількості дослідів частота величини A значно відхилиться від математичної імовірності цієї величини, хоча таке відхилення є практично не можливим. Тому говорять, що при збільшенні числа дослідів частота величини збігається за ймовірністю до математичної імовірності цієї величини.

Величина збігається за ймовірністю до величини якщо при будь-як малому імовірність нерівності із збільшенням необмежено наближається до одиниці [12].

Основні властивості імовірності [10]:

1) Імовірність вірогідної події дорівнює 1.

2) Імовірність неможливої події дорівнює 0.

3) Імовірність випадкової події задовольняє подвійній нерівності .

4) Імовірність суми попарно несумісних подій дорівнює сумі імовірностей цих подій

.

5) Сума імовірностей двох протилежних подій та дорівнює 1 так як вони утворюють повну групу подій

.

6) Імовірність двох сумісних подій та дорівнює сумі їх імовірностей без імовірності їх добутку

, або

7) Імовірність добутку двох подій та дорівнює добутку одного з них на умовну імовірність іншого

,

де – умовна імовірність події , за умови, що настала подія. Тоді

,

де – кількість результатів, що сприяють спільній появі подій та ; – кількість результатів, що сприяють події .

8) Якщо події та незалежні, то та , тоді

9) Кілька подій називаються незалежними в сукупності, якщо незалежні кожні дві з них і незалежна кожна подія з усіма можливими добутками інших. Наприклад, незалежність трьох подій ,та означає незалежність подій та , та , та, а також подій та , та , та . Тоді

.

Якщо ж події залежні, то

З правил додавання та множення випливає формула повної імовірності. Нехай необхідно провести експеримент про умови якого можна зробити взаємовиключних припущень (гіпотез) [12]:

, (при ) (1.3)

Кожна гіпотеза здійснюється випадковим чином і представляє собою деяку подію. Імовірності гіпотез відомі та рівні

.

Розглянемо деяку подію , що може з’явитися лише з однією з гіпотез (1.3) . Задано умовіні імовірності події при кожній з гіпотез

.

Необхідно знайти імовірність події . З цією метою представляється як сума несумісних варіантів:

Згідно з правилом додавання ймовірностей

.

Згідно з правилом множення ймовірностей

.

Тоді

, (1.4)

тобто, безумовна імовірність події в досліді з гіпотетичними умовами обраховується як сума добутку ймовірностей кожної з гіпотез на умовну імовірність події за цієї гіпотези. Формула (1.4) називається формулою повної імовірності [12].

З правила множення та формули повної імовірності витікає теорема гіпотез або формула Байеса [12].

Нехай, до досліду про його умови можна висунути ряд гіпотез , що є несумісними та являються повною групою подій:

; (при ).

Імовірність гіпотез до досліду (апріорні імовірності) задані та рівні

; .

Як необхідно переглянути імовірності гіпотез, якщо в результаті проведення досліду з’явилася подія . Тобто, необхідно знайти апостеріорні імовірності гіпотез, якщо з’явилася подія :

.

По правилу множення імовірність будь-якої гіпотези обраховується за формулою:

Відкидаємо ліву частину та ділимо обидві частини на

.

В результаті отримуємо

.

Заміняємо його значенням згідно з формулою повної ймовірності:

. (1.5)

Формула (1.5) називається формулою Байеса [12]. Ця рівність дозволяє застосувати наступний підхід при розрахунку деякої складної події: спочатку зв’язати подію з деякими умовами таким чином, щоб розрахунок імовірності за цих умов був більш простим, потім помножити ці умовні імовірності на імовірності умов з метою отримання сумісної імовірності . Додавши отримані імовірності можна знайти імовірність події [3].

Читайте також:

1. II. Поняття соціального процесу.
2. V. Поняття та ознаки (характеристики) злочинності
3. А .Маршалл - основоположник неокласичної теорії.
4. А/. Поняття про судовий процес.
5. Агітація за і проти та деякі особливості її техніки.
6. Адміністративний проступок: поняття, ознаки, види.
7. Адміністративні провадження: поняття, класифікація, стадії
8. Аксіоматичний метод у математиці та суть аксіоматичної побудови теорії.
9. Акти застосування юридичних норм: поняття, ознаки, види.
10. Альтернативні теорії вартості
11. Альтернативні теорії капіталу
12. Альтернативні теорії макроекономічного регулювання

Переглядів: 812