• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Випадкова величина та її характеристики

Випадкова величина – це величина, що в результаті випробування (реалізації певного комплексу умов) може прийняти те чи інше значення, при цьому до випробування не відомо яке саме [1].

Випадкові величини поділяються на дискретні та неперервні та змішаного типу.

Закон розподілу являється співвідношенням яке дозволяє визначити імовірність появи випадкової величини в будь-якому інтервалі. Він може бути заданий з використанням ряду розподілу, функції розподілу та щільності розподілу.

Ряд розподілу – це таблиця в якій представлені всі можливі значення випадкової величини та відповідні імовірності.

Емпіричний ряд розподілу – це таблиця в якій перераховано спостережувані значення (фактичні реалізації) випадкової величини та відповідні частоти.

За допомогою ряду можна задати закон розподілу лише дискретної випадкової величини. Для опису закону розподілу неперервної величини обраховують імовірність появи значення випадкової величини (- поточна змінна). Ця імовірність залежить від і являється функцією розподілення випадкової величини .

Біноміальний розподіл – це розподіл числа появи подій в середовищі з незалежних випробувань. Ряд розподілу кількості появ події визначається формулою Бернулі:

,

де - імовірність появи події рівна разів в серії з випробувань ().

Числові характеристики біноміального розподілу:

1) математичне очікування: ; Емпіричне математичне очікування([1] в лабах)

2) дисперсія:;

3) коефіцієнт асиметрії: ;

4) коефіцієнт ексцесу (міра крутизни): .

Розподіл Пуассона – це окремий крайній випадок біноміального розподілу при , , так що . Тоді щільність імовірності буде мати вигляд:

, .

На відміну від біноміального розподілу, розподіл Пуассона залежить лише від одного параметру: математичного очікування .

Дисперсія випадкової величини , розподіленої за законом Пуассона рівна математичному очікуванню цієї величини.

Нормальний розподіл. Щільність нормального розподілу

.

При значеннях та нормальну криву називають нормованою, а закон розподілу стандартним нормальним законом розподілу з щільністю

, .

Відповідна функція розподілу

.

Будь-який нормальний розподіл приводиться до стандартного шляхом підстановки . Імовірність потрапляння величини в заданий інтервал від до рівна

.

Значення функцій стандартного нормального закону розподілу табульовано.

Гамма розподіл та розподіл Ерланга. Щільність розподілу визначається за формулою

при ,

де , , - гамма-функція рівна:, якщо ціле невід’ємне число, то .

Математичне очікування та дисперсія:

, .

Для цілих гамма розподіл перетворюється в розподіл Ерланга -го порядку:

, .

При гамма розподіл перетворюється в експоненціальний розподіл.

Експоненціальний розподіл. Щільність розподілу

, ,

де - параметр експоненціального потоку.

Біноміальний розподіл – це розподіл числа появи подій в середовищі з незалежних випробувань. Ряд розподілу кількості появ події визначається формулою Бернулі:

,

де - імовірність появи події рівна разів в серії з випробувань ().

Математичне очікування та дисперсія: , . Коефіцієнт асиметрії: . Коефіцієнт ексцесу (міра крутизни): .

Розподіл Пуассона – це окремий крайній випадок біноміального розподілу при , , так що . Тоді щільність імовірності буде мати вигляд:, .

Дисперсія випадкової величини , розподіленої за законом Пуассона рівна математичному очікуванню цієї величини.

Нормальний розподіл. Щільність нормального розподілу

.

При значеннях та нормальну криву називають нормованою, а закон розподілу стандартним нормальним законом розподілу з щільністю

, .

Відповідна функція розподілу

.

Будь-який нормальний розподіл приводиться до стандартного шляхом підстановки . Імовірність потрапляння величини в заданий інтервал від до рівна

.

Значення функцій стандартного нормального закону розподілу табульовано.

Гамма розподіл та розподіл Ерланга. Щільність розподілу визначається за формулою

при ,

де , , - гамма-функція рівна:, якщо ціле невід’ємне число, то . Математичне очікування та дисперсія:, .

Для цілих гамма розподіл перетворюється в розподіл Ерланга -го порядку:

, .

При гамма розподіл перетворюється в експоненціальний розподіл.

Експоненціальний розподіл. Щільність розподілу

, ,

де - параметр експоненціального потоку.

Функція розподілу: , , .

Математичне очікування, дисперсія, середньоквадратичне відхилення: , , .

Рівномірний розподіл. Щільність розподілу

.

Математичне очікування, дисперсія та середньоквадратичне відхилення: , , .

Імовірність потрапляння величини на відрізок рівна

.

Випадкова величина – це величина, що в результаті досліду з випадковим результатом отримує те чи інше значення [12]. Розрізняють дискретні випадкові величини, неперервні випадкові величини (для яких функція розподілу неперервна та всюди диференційована) та випадкові величини змішаного типу, що містять, як неперервні так і дискретні частини.

Кожному закінченню випадкового експерименту, що представляється точками , може бути поставлено у відповідність дійсне число . – це значення, що приймає випадкова величина, коли результатом експерименту є [3].

Областю визначення випадкової величини є множина ξ, а значення, що величина приймає, утворюють область значень. З метою визначення імовірності, з якою приймає те чи інше значення введемо позначення . Імовірність такої події позначається (імовірність того, що =) і дорівнює сумі імовірностей тих подій для яких .

Закон розподілу випадкової величини це будь-яке правило (таблиця, функція), яке дозволяє знаходити імовірності можливих подій, пов’язаних з випадковою величиною (наприклад, імовірність того, що вона прийме певне значення чи потрапить в певний інтервал) [12].

Функція розподілу імовірності(чи просто функція розподілу) відображає імовірність того, що випадкова величина прийме значення, менші чи рівні [3, 12].

Вона визначається як

, де

Функція розподілення будь-якої випадкової величини являється неубивающей функцією свого аргументу значення якої знаходяться в межах 0 та 1 [12]:

; ; .

Знаючи функцію розподілення випадкової величини можна обрахувати імовірність будь-яких подій з нею пов’язаних. Імовірність того, що випадкова величина в результаті досліду потрапить на відрізок рівна прирощению функції розподілення на цьому відрізку [12]:

для ;

для .

Та для розрахунків часто більш зручно користуватися щільністю розподілу імовірності, що має вигляд

,

тоді , .

Отже, щільність розподілу імовірності являється функцією, інтегрування якої по інтервалу дає імовірність потрапляння випадкової величини в цей інтервал. Так для

На просторі елементарних подій можна визначити багато випадкових величин. Так, для імовірнісної системи (, , ) можна розглянути дві випадкові величини та . Тоді спільна функція розподілу для двох величин буде мати вигляд

і означати, що приймає значення менші або рівні , і в той же час величина приймає значення менші або рівні , тобто це сума імовірностей, пов’язана з всіма елементарними точками в перетині двох подій та .

Спільна щільність розподілу імовірностей визначається як

.

Для того, щоб знайти щільність розподілу однієї з величин необхідно здійснити інтегрування по всім можливим значенням іншої змінної:

.

Дві величини називаються незалежними тоді, коли спільна щільність розподілу імовірності є добутком їх одномірних щільностей розподілу:

.

Умовна щільність розподілу величини за умови, що величина має певне значення визначається як

.

Інтегральна формула повної імовірності має вигляд:

.

Інтегральна формула Байеса

.

Для опису випадкової величини також використовуються числові характеристики, що відображають найбільш істотні риси розподілу. Найчастіше використовуються математичне очікування та дисперсія, що характеризують її положення та ступінь розкиданості [12].

Математичне очікуваннядискретної випадкової величини – це сума добутків всіх можливих значень на імовірності цих значень

. (1.6)

Для неперервної випадкової величини здійснюємо заміну в формулі (1.6) на , ф імовірність на , тоді

.

Математичне очікування суми випадкових величин завжди дорівнює сумі математичних очікувань цих величин. Математичне очікування добутку дорівнює добутку математичних очікувань величин лише у випадку, коли ці випадкові величини незалежні. Математичне очікування -ї степені випадкової величини називається її -м моментом [3]. Момент -го порядку дискретної та неперервної величин визначається за формулами

та

відповідно.

Центрованою випадковою величиною називається відхилення випадкової величини від її математичного очікування:

,

де – перший початковий момент випадкової величини, рівний

Моменти центрованої випадкової величини називаються центральними моментами. Другий центральний момент називається дисперсією. Дисперсія – математичне очікування квадрата відповідної центрованої величини:

(для дискретної величини),

(для неперервної величини).

Так як дисперсія має розмірність, рівну квадрату розмірності випадкової величини; для наглядності зручно ввести характеристику, що має таку ж розмірність, як і сама величина. З цією метою обраховують корінь квадратний з дисперсії – середнє квадратичне відхилення, рівне . Відношення стандартного відхилення до середнього значення випадкової величини називається коефіцієнтом варіації і рівне .

Читайте також:

1. V. Поняття та ознаки (характеристики) злочинності
2. Абсолютна величина числа позначається символом .
3. Акустичні характеристики порід
4. Будова, принцип роботи та характеристики МДН – транзисторів
5. Будова, принцип роботи та характеристики тиристорів
6. Будова, характеристики і параметри біполярного транзистора
7. Варіаційні ряди та їх характеристики
8. Векторні характеристикимеханічного руху– переміщення, шлях, швидкіст та прискорення
9. Величина відцентрової сили
10. Величина густини зварювального струму
11. Величина доходу від використання праці, землі й капіталу визначається величиною їхнього граничного внеску у виробництво певних товарів чи послуг.
12. Вивчення загальної характеристики господарства, окремих галузей господарства та міжгалузевих комплексів.

Переглядів: 1520