• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Векторні характеристикимеханічного руху– переміщення, шлях, швидкіст та прискорення

Розглянемо різні способи визначення положення точки.

Перший - векторний спосіб опису руху.

У деяких задачах цей спосіб є найбільш раціональним. За цим способом положення точки у просторі визначається радіусом-вектором , проведеним із початку координат до точки (рис. 1.4, а):

. (1.1)

Залежність радіус-вектора точки від часу називається кінематичним рівнянням руху. Лінія, яку описує кінець радіус-вектора разом із матеріальною точкою у просторі, називається траєкторією руху. Залежно від форми траєкторії розрізняють прямолінійний та криволінійний рух. Зауважимо, що форма траєкторії руху точки істотно залежить від вибору системи відліку. Наприклад, у системі відліку, пов’язаній із Сонцем, траєкторії руху планет мають форму еліпсів; у системі відліку, пов’язаній із Землею, їхні траєкторії ускладнюються і нагадують петлеподібні рухи. Точка пропелера рухомого літака з погляду пілота перебуває в коловому русі; в системі відліку, пов’язаній з Землею, її траєкторія має гвинтоподібну форму. До вибору системи відліку треба підходити з урахуванням простоти і зручності опису в ній руху матеріальної точки. Сумарна довжина елементів траєкторії, пройдена точкою за заданий проміжок часу, називається шляхом ΔS.

Рух точки за час визначається вектором переміщення (рис. 1.4,а) Цей вектор чисельно дорівнює довжині відрізка прямої, що сполучає початкове і кінцеве положення точки через час і визначається як . У разі кількох послідовних переміщень точки сумарний вектор переміщення знаходять за правилом додавання векторів (рис. 1.4, б).

Такі величини, як переміщення, швидкість, прискорення, сила та інші, що задаються числовим значенням і напрямом та додаються за правилом паралелограма, називаються векторними. Величини, для визначення яких досить тільки числового значення, називаються скалярними (скалярами). Такими, наприклад, є час, шлях, маса.

Найважливішою кінематичною характеристикою руху є швидкість.

На практиці в описах рухів часто задовольняються середньою швидкістю, що дорівнює шляху, пройденому за одиницю часу, тобто:

. (1.2)

Середня швидкість не дає чіткої інформації про рух тіла, а тому для точного опису руху вводиться поняття миттєвої швидкості. Миттєвою швидкістю називається векторна величина, що визначається рівністю

, (1.3)

Оскільки рух тіла можна уявити як сукупність миттєвих перебувань його в послідовних точках траєкторії, то миттєва швидкість характеризує швидкість тіла в кожний момент часу або в кожній точці його траєкторії. Таким чином, миттєва швидкість – це похідна від радіус-вектора по часу.

Одиницею вимірювання швидкості в СІ є метр за секунду (м/с); на практиці широко користуються кілометром за годину (км/год), у морській справі - вузлом (1 вузол = 1 морська миля/год = 1,853 км/год), у реактивній авіації числом М (1 М ≈ 1200 км/год).

Із визначення випливає, що швидкість завжди спрямована по дотичній до траєкторії (рис.1.4, а). У міру зменшення Dt шлях Ds все більше буде наближатися до , тому модуль миттєвої швидкості

(1.4)

де s – шлях, пройдений вздовж траєкторії. Таким чином, модуль миттєвої швидкості рівний першій похідній шляху по часу.

У змінному русі швидкість може змінюватися і за значенням, і за напрямом. Повну зміну швидкості за час Δt знаходять за векторною різницею (рис. 1.4, а):

Для оцінювання зміни швидкості в часі введено фізичну величину, що називається прискоренням. У певний момент часу або в заданій точці траєкторії прискорення є границею відношення вектора зміни швидкості до відповідного проміжку часу :

, . (1.5)

Таким чином, прискорення є першою похідною від швидкості тіла за часом, або друга похідна від радіус-вектора за часом Про напрямок вектора і його величину мова піде пізніше.

Отже, знаючи кінематичне рівняння руху, можна простим диференціюванням за часом знайти швидкість і прискорення в будь-який момент часу (так звана пряма задача кінематики). Навпаки, знаючи прискорення точки, а також початкові умови, тобто положення і швидкість в початковий момент часу , можна знайти траєкторію руху точки (обернена задача кінематики). Дійсно, із формул (1.5) і (1.3) випливає, що і , тоді:

(1.6)

(1.7)

Другий - координатний спосіб опису руху

Якщо з тілом відліку жорстоко пов’язати яку-небудь координатну систему (наприклад, декартову), то положення точки в будь-який момент часу визначається трьома її координатами: x, y, z.

Проектуючи радіус-вектор на координатні осі, отримаємо три залежності координат точки від часу

; ; , (1.8)

які є кінематичними рівняннями руху в координатній формі. За цими функціями для будь-якого моменту часу можна обчислити координати точки і знайти її положення. Рівняння (1.8) по суті є рівнянням траєкторії у параметричній формі. Щоб знайти рівняння траєкторії у явному вигляді, треба у системі (1.8) виключити час (тобто знайти зв’язок між координатами в довільний момент часу).

Між векторним та координатним способами опису руху точки існує безпосередній зв’язок, а саме:

- числові значення проекцій радіуса-вектора рухомої точки на координатні осі системи з тим самим початком відліку дорівнюють координатам точки, тобто:

, , . (1.9)

Іншими словами, радіус-вектор можна задати через координати точки (рис. 1.5), тобто:

, (1.10)

де – орти (одиничні вектори, напрямлені вздовж відповідних координатних осей). Звідси зараз же випливає принцип незалежності рухів: довільний рух точки можна розглядати як суму незалежних рухів по координатних осях x, y, z ;

– траєкторією руху точки є годограф радіуса-вектора (крива, яку описує кінець вектора на рисунку 1.4, а). Рівняння (1.8) є рівнянням годографа;

– вектор переміщення виражається через відповідні зміни координат рухомої точки, тобто:

.

Як було сказано вище, при → 0 вектор переміщення збігається з відповідним елементом траєкторії , проте для довільного проміжку часу модуль кінцевого вектора переміщення і довжина пройденого шляху взагалі величини різні. Наприклад, модуль переміщення Землі відносно Сонця як системи відліку через півроку дорівнює діаметру орбіти, а через рік – нулю, тоді як пройдений шлях відповідно дорівнюватиме половині довжини й довжині орбіти.

Вектори швидкості та прискорення можуть бути вираженими у проекціях на координатні осі:

, (1.11)

(1.12)

де проекції швидкості і прискорення точки на координатні осі знаходять так:

(1.13)

(1.14)

а модулі векторів знаходять за формулою:

(1.15)

(1.16)

Елементарний пройдений шлях при координатному заданні руху визначається:

або

;

. (1.17)

Звідси увесь шлях знайдемо шляхом інтегрування:

(1.18)

де константа С знаходиться з початкових умов.

Таким чином, у кінематиці розв’язують задачі двох типів: на знаходження прискорення, коли відомо функції ; ; або , і на відшукання цих функцій, коли відомі прискорення.

Задачі першого типу розв’язують методом диференціювання, другого – методом інтегрування. Наприклад, для випадку рівномірно прискореного руху, що відбувається в напрямі осі Ох, () з виразу дістаємо:

,

звідки інтегруванням знаходимо відомі вирази для швидкості та координати:

; та ,

де та – сталі інтегрування. Вони визначаються з початкових умов, а саме: при = 0 маємо та . Тоді рівняння швидкості та координати буде:

(1.19)

(1.20)

Отже, для розв’язання кінематичних задач, окрім прискорення, мають бути задані початкові умови, тобто координати початкового положення точки (, , ) і початкова швидкість її руху (, , ).

Розглянемо більш детально напрям вектора прискорення.

Як випливає із (1.5) прискорення – це вектор, який за напрямом збігається з вектором при → 0. Зазначимо, що вектор приросту швидкості може не збігатися з вектором самої швидкості, тому вектор прискорення взагалі не збігається з напрямом вектора швидкості.

У випадку криволінійного руху швидкість може змінюватись не лише за величиною, але й за напрямком (рис. 1.6). Розкладемо вектор приросту швидкості так: , де доданок відповідає за зміну вектора швидкості лише за модулем, а – лише за напрямком. Тоді повне прискорення можна записати:

. (1.21)

Перший доданок називається тангенціальним прискоренням, яке характеризує зміну швидкості з часом за величиною (рис. 1.6) і визначається за формулою:

; (1.22)

Вектор можна записати як , де – орт дотичної до траєкторії, напрямлений у ту саму сторону, що і вектор швидкості . Тоді тангенціальне прискорення:

. (1.23)

Модуль тангенціального прискорення визначається:

(1.24)

Якщо (швидкість зростає за величиною), то вектор напрямлений уздовж дотичної у то ж сторону, що і швидкість , тобто Якщо ж (швидкість із плином часу зменшується), вектори та напрямлені у протилежні сторони, тобто . При рівномірному русі , і отже тангенціального прискорення немає.

Другий доданок у формулі (1.21) називається нормальним прискоренням, яке характеризує зміну швидкості за напрямком (рис. 1.6) і визначається за формулою:

. (1.25)

Знайдемо модуль нормального прискорення . Як видно з рисунку 1.6 (де ). Довжина дуги AB дорівноє: . Тоді , де – радіус кривизни траєкторії. У граничному випадку, коли , т. В наближається до т. А. Звідси:

(1.26)

Формула (1.26) визначає модуль нормального прискорення.

Встановимо напрям вектора . Як видно з рисунку 1.6, при . Тоді з рівнобедреного ΔАСD слідує, що АСD=АDС ≈ 0. Таким чином вектор перпендикулярний до швидкості, а отже – напрямлений до центра кривизни траєкторії в даній точці.

Повне прискорення є векторною сумою тангенціального і нормального прискорень:

(1.27)

Знаючи тангенціальне та нормальне прискорення, можна знайти модуль і напрям повного прискорення в заданій точці траєкторії за теоремою Піфагора, оскільки кут між векторами та завжди 90^о (рис. 1.7):

; . (1.28)

Тангенціальне і нормальне прискорення можуть бути використані для класифікації різних рухів, наприклад:

1) = const – рівнозмінний рух;

2) – рівномірний криволінійний рух;

3) , = const – рівномірний рух по колу і тощо.

Читайте також:

1. Vу -швидкість ударника
2. Вектори кутової швидкості і кутового прискорення.
3. Векторні і скалярні величини
4. Векторні і скалярні величини
5. Векторні і часові діаграми
6. Векторні простори із скалярним добутком
7. Видаток і середня швидкість ламінарного потоку.
8. Вимірювання інформації та швидкість її передачі
9. Від науково-технічного дослідження до його впровадження в масове виробництво складний та ризикований шлях, реалізацією якого займається венчурний бізнес.
10. Вільне падіння тіл. Прискорення вільного падіння.
11. Вплив параметрів режиму буріння на механічну швидкість проходки

Переглядів: 2807