• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Послідовність випробувань із різними імовірностями

.

Ця функція часто використовується, тому її значення для різних х наведені в підручниках та посібниках із теорії імовірностей. Вона табульована для додатних х. Основні властивості локальної функції Лапласа.

1. Функція Лапласа (φ(х) парна, тобто φ(-х) = φ(х);

2. Функція φ(х) визначена для усіх х Є (-∞,∞);

3. φ(х) → 0, коли х→ ±∞;

4. φ_max(х)= φ(0)=

Графік локальної функції Лапласа має вигляд, зображений на Рис. 4.1.

Рис. 4.1.

Означення 3. Інтегральною функцією Лапласа називають функцію

Легко бачити, що між локальною функцією φ(х) та інтегральною функцією Ф(х) існує простий зв'язок

Основні властивості інтегральної функції Лапласа.

1. Інтегральна функція Лапласа є непарною функцією Ф(-х) = -Ф(х);

2. Ф(0) = 0;

3. Ф(х) = 0.5 для х>= 5.

Графік інтегральної функції Лапласа зображено на Рис.4.2.

Рис. 4.2.

Інтегральна функція Лапласа Ф(х) табульована для х є [0,5].

Теорема 2. (локальна теорема Муавра-Лапласа) Якщо у схемі Бернуллі кількість випробувань п достатньо велика, а імовірність р появи події А в усіх випробуваннях однакова, то імовірність появи події А т разів може бути знайдена за наближеною формулою

(4.3)

де

Зауваження 4. Формулу (4.3) доцільно використовувати при п > 100 та npq > 20.

Приклад 5. Гральний кубик кидають 800 разів. Яка імовірність того, що кількість очок, кратна трьом, з'явиться 267 разів.

Розв’язання. У даному випадку п та m досить великі. Тому для знаходження P₈₀₀ (267) можна використати формулу (4.3). Маємо Р(А)= =p=2/6; g = l-p=l-1/3 = 2/3,

Отже, за формулою (4.3) одержимо

P₈₀₀ (267) = 3/40 · φ(0,025) = 3/40 · 0.3988 = 0.03.

Значення φ(0.025) взято з таблиці так

х φ(х) х φ(х)

0.02 0.398862

→ 0.025 (0,398862 +0,398783)/2 ≈ 0,3988

0.03 0.398783

Теорема 3. (Інтегральна теорема Муавра-Лапласа.) Якщо у схемі Бернуллі в кожному із п незалежних випробувань подія А може з'явитися з постійною імовірністю р, тоді імовірність появи події А не менш т₁ та не більш т₂ разів може бути знайдена за формулою

Р_п(т₁ ≤т≤ т₂) = Ф(т₂) - Ф(т₁), (4.4)

де Ф(х) – інтегральна функція Лапласа,

(4.5)

Приклад 6. Гральний кубик кидають 800 разів. Яка імовірність того, що кількість очок, кратна трьом, з'явиться не менше 260 та не більше 274 разів?

Розв’язання. Для знаходження імовірності

Р₈₀₀(260 ≤т≤ 274)

використаємо формули (4.5) та (4.4). Маємо

Р₈₀₀(260 ≤m≤ 274) = Ф(0.55) + Ф(0,5) = 0.298840 + 0.191482 = 0.400322.

Значення інтегральної функції Лапласа взято з таблиці і використана властивість непарності Ф(-0.5) = -Ф(0.5) функції Ф(х).

У схемі Бернуллі імовірність появи події А в усіх випробуваннях однакова. Але у практичній діяльності іноді зустрічаються і такі випадки, коли у п незалежних випробуваннях імовірності появи події А різні, наприклад, вони дорівнюють р₁, р₂, … , р_n.

Тоді імовірності не появи події А також будуть різними

q₁=1-р₁, q₂=1-р₂, … , q_n=1-р_n .

У цьому випадку не можна обчислювати за формулою Бернуллі імовірність появи події А т разів у п випробуваннях, а треба використовувати твірну функцію

Правило. Шукана імовірність Р_п(т) дорівнює коефіцієнту, що стоїть npu z^m.

Приклад 7.Імовірність відмови кожного з 4 приладів у 4 незалежних випробуваннях різні і дорівнюють

p₁ = 0.1, р₂ = 0.2, р₃ = 0.3, р₄ = 0.4.

Знайти імовірність того, що внаслідок випробувань

а) не відмовить жоден прилад;

б) відмовлять один, два, три, чотири прилади;.

в) відмовить хоча б один прилад;

г) відмовлять не менше двох приладів.

Розв’язання. Імовірності відмови приладів у випробуваннях різні, тому застосовуємо твірну функцію (1), яка у даному випадку матиме вигляд

φ_n(z) = (0.9 + 0.1z)(0.8 + 0.2z)(0.7 4 0.3z)(0.6 + 0.4z).

Розкриємо дужки та зведемо подібні члени. Тоді матимемо

φ_n(z) = 0.302 + 0.46z + 0.205z² + 0.031z³ 4- 0.002z⁴.

Відповідно Правилу звідси одержуємо відповіді на питання прикладу

а) Р₄(0) = 0.302;

б)Р₄(1) = 0.46; Р₄(2) = 0.205; Р₃(1) = 0.031; Р₄(4) = 0.002;

в)Р₄(1 < m < 4) = 1 - Р₄(0) = 0.698;

г) Р₄(m > 2) = 1-(Р₄(0) + Р₄(1)) = 1-(0.3024-0.46) - 0.238.

Приклад 8. Працівник обслуговує три станка, що працюють незалежно один від одного. Імовірність того, що на протязі години перший станок не вимагатиме уваги працівника, дорівнює 0.9, а для другого та третього станків - 0.8 та 0.85, відповідно. Якою є імовірність того, що на протязі години

а) жоден станок не потребуватиме уваги працівника;

б) усі три станки потребують уваги працівника;

в) хоч би один станок потребує уваги працівника?

Розв’язання. Цей приклад можна розв'язати з використанням теорем множення та додавання імовірностей. Розв'яжемо тепер цей прикладз використанням твірної функції, яка у даному випадку прийме вигляд

φ_n(z) = (0.1+0.9z)(0.2 + 0.8z)(0.15 +0.85z) = 0.003 +0.056z+ +0.0329z² + +0.612z³.

Отже, коефіцієнт при z^k (k = 0,1,2,3) дорівнює імовірності того, що на протязі години уваги працівника не потребують k станків. Тому одержуємо відповіді на питання цього прикладу:

а) імовірність того, що усі три станка не потребують уваги працівника, дорівнює коефіцієнту при z³, тобто

Р₃(3) = 0.612;

б) Р₃(0) -=0.003; в) Р₃(1 <m<3) = 1-Р₃(3) = 1- 0.612 = 0.388.

Читайте також:

1. Адміністративно-правові норми поділяють на види за різними критеріями.
2. В ході своєї роботи бухгалтер має справу з різними документами.
3. Види випробувань
4. Види виробничої потужності, чинники, що її визначають, послідовність розрахунків
5. Види кредиту можна класифікувати за різними критеріями.
6. Визначення. Якщо кожному натуральному числу n поставлено у відповідність число хn, то говорять, що задано послідовність
7. Вимірювальні прилади для проведення випробувань будівельних конструкцій
8. Випробувальне обладнання, ЗВТ випробувальної лабораторії та методи випробувань продукції
9. Випробування статичним навантаженням. Основи планування випробування.Оцінка стану конструкцій за результатами статичних випробувань
10. Вихідні дані та послідовність розрахунків виробничої потужності підприємства
11. Відновлення металів може проводитись різними методами, які зручно об'єднати в такі групи: пірометалургійні, гідрометалургійні та електрометалургійні.
12. За різними ознаками статистичну звітність поділяють на окремі види.

Переглядів: 1825