• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Теорема Бернуллі

Теорема Бернуллі встановлює зв'язок теорії імовірностей з її практичними застосуваннями. Вона була доведена Я. Бернуллі в кінці XVII століття, а опублікована у 1713 році.

Теорема 4. (Я. Бернуллі) Якщо у п незалежних випробуваннях імовірність р появи події А однакова і подія А з'явилася т разів, то для будь-якого додатнього числа а має місце рівність

(4.6)

тобто границя імовірності відхилення відносної частоти m/n події А від її імовірності на величину, що більше або дорівнює а, дорівнює нулеві.

Згідно означенню границі рівність (4.6) означає, що

— нескінченно мала величина

Та це означає, що подіяпрактично неможлива. Але тоді протилежна подія практично достовірна для будь-якого додатного числа а.

Наслідоктеореми Я. Бернуллі.Рівністьможе відрізнятись від практично достовірної події , а>0 на нескінченно малу величину.

Це означає, що m/n → р, тобто відносна частота (частость) W(A) = m/n події А відрізняється від імовірності р події А на нескінченно малу величину, яку практично можна не враховувати.

Зауваження 5. Формулу (4.6) можна записати з використанням інтегральної функції Лапласа Ф(х) у вигляді

Звідси одержуємо важливу формулу

, (4.7)

яка дозволяє розв’язувати багато задач.

Приклад 9. Імовірність появи події в кожному із 625 незалежних випробувань дорівнює 0,8. Знайти імовірність того, що частость появи події відхиляється від імовірності за абсолютною величиною не більш ніж на 0.04.

Розв’язання. За умовою прикладу п =625,р =0.8,q = 1 - 0.8 = 0.2,ε =0.04. Треба знайти

За формулою (4.7) маємо

З таблиці значень функції Лапласа Ф(х) знаходимо Ф(2.5) = 0.4938. Отже,

2 Ф(2.5) = 2 · 0.4938 → = = 0.9876

Таким чином, шукана імовірність наближено дорівнює 0.9876.

Приклад 10.Імовірність появи події в кожному із незалежних випробувань дорівнює 0.5. Знайти число випробувань n, при якому з імовірністю 0.7698 можна чекати, що частость появи події відхиляється від її імовірності за абсолютною величиною не більше ніж на 0.02.

Розв’язання. За умовою задачі р = 0.5, q = 0.5, ε = 0.02,

= 0.7698.

Застосуємо формулу (4.7). Тоді згідно умови одержимо

Із таблиці значень інтегральної функції Лапласа знайдемо

.

Отже, шукана кількість випробувань n = 900.

Приклад 11. Відділ технічного контролю перевіряє стандартність 900 виробів. Імовірність того, що виріб стандартний, дорівнює 0.9. Знайти з імовірністю 0.9544 межі інтервалу, що містить число т стандартних виробів серед перевірених.

Розв’язання. За умовою п = 900, р = 0.9, q = 0.1,

З таблиці значень інтегральної функції Лапласа знаходимо

.

Отже, з імовірністю 0.9544 відхилення частоти кількості стандартних виробів від імовірності 0.9 задовольняє нерівність

З останніх співвідношень випливає, що шукане число m стандартних виробів серед 900 перевірених з імовірністю 0.9544 належить інтервалу 792 ≤ m ≤ 828.

Читайте також:

1. В. Друга теорема про розклад.
2. Граничні теореми у схемі Бернуллі
3. Друга теорема Вейєрштрасса
4. Елементи гідроаеродинаміки. Рівняння Д. Бернуллі
5. І. Метод Бернуллі.
6. Інтегральна теорема Лапласа
7. Локальна теорема Лапласа
8. Магнітний потік. Теорема Гауса для магнітного поля
9. Момент інерції. Теорема Гюйгенса-Штейнера
10. Напряженность поля. Теорема Гаусса
11. Незалежні події. Теорема множення для незалежних подій
12. Опукле програмування. Необхідні та достатні умови існування сідлової точки. Теорема Куна-Такера.

Переглядів: 1559