Друга теорема Вейєрштрасса

Перша теорема Вейєрштрасса

Теорема про локальну обмеженість функції

Друга теорема Вейєрштрасса

Перша теорема Вейєрштрасса

Теорема про локальну обмеженість функції

План

Лекція 6. Функції, неперервні на сегменті

Вопросы

1. Что означает, что функция непрерывна на ?

2. Привести примеры функций, непрерывных на сегментах.

3. Теорема о локальной ограниченности функции, которая непрерывна в точке. Как именно определяется тот интервал, в котором функция непрерывна?

4. Первая теорема Вейерштрасса. Доказать.

5. Что можно сказать об ограниченности функции , если ? Ответ обосновать.

6. Что можно сказать об ограниченности функции , если ? Ответ обосновать.

7. Вторая теорема Вейерштрасса. Доказать.

8. Достигает ли своих точных нижней и верхней границ функция на интервале ? Ответ обосновать.

Визначення 1. Нехай функція визначена на . Кажуть, що неперервна на , якщо вона неперервна в кожній точці .

Теорема 1 (про локальну обмеженість функції). Нехай функція неперервна в точці , тоді існує окіл точки , в якому функція буде обмеженою.

Доказ. Оскільки неперервна в точці , то за визначенням неперервності функції на основі Коші маємо:

для , що для виконується нерівність:

Тоді

що і треба було довести.

Теорема 2. Нехай функція визначена і неперервна на , тоді обмежена на цьому сегменті.

Доказ. Припустимо, що функція визначена і неперервна на , але не є обмеженою на цьому сегменті. Це означає, що для , що

. (1)

Розглянемо отриману послідовність аргументів . Оскільки всі , то послідовність - обмежена, тоді з неї обов’язково можна виділити збіжну підпослідовність . Нехай

, .

З неперервності функції скрізь на , а тому і в точці , витікає, що

. (2)

Але рівність (2) суперечить (1), тому функція є обмеженою на .

Зауваження. Якщо функція буде визначеною і неперервною не на сегменті, а на якійсь іншій множині, то теорема не буде мати місця.

Для того, щоб перевірити істинність зауваження, наведемо приклад, де теорема не буде мати місця.

Приклад. Розглянемо функцію на напівсегменті (а не на сегменті!) . На цьому проміжку неперервна скрізь ( має розрив ІІ роду лише в точці , але ця точка взагалі не входе до області визначення - ), але вона не обмежена на (рис.1).

Теорема 3. Нехай функція визначена і неперервна на , тоді досягає на цьому сегменті своїх точних нижньої і верхньої меж.

Доказ. За першою теоремою Вейєрштрасса обмежена на , тоді у неї обов’язково існують:

Нам потрібно довести, що існують такі аргументи функції і , що

Доведемо теорему для . Припустимо, що не досягає на свого супремума (не існує жодної точки , для якої ), тобто для :

. (3)

Побудуємо допоміжну функцію . Завдяки припущенню (3) функція визначена і неперервна на , тоді за першою теоремою Вейєрштрасса обмежена на , а тому обов’язково обмежена зверху на . Нехай - одна з верхніх меж :

. (4)

Оскільки для , то . З (4) витікає, що:

Таким чином, - верхня межа для на , але . Отримали суперечність, тому наше припущення є хибним, і функція досягає на свого супремума.

Завдання. Довести другу теорему Вейєрштрасса для .

Зауваження. Важливою для виконання теореми є умова, що функція розглядається саме на сегменті: якщо визначена і неперервна на якійсь іншій множині, а не на сегменті, то теорема взагалі може не виконуватись.

Приклад. Функція розглядаеться на напівсегменті (рис.2). На цій множині вона є неперервною і обмеженою, але вона не досягає свого супремума, який дорівнює 1.

Приклад. Розглядається функція . Область визначення - множина дійсних чисел . Функція - неперервна і обмежена на своїй області визначення, але не досягає ні інфімума, ні сумремума, які дорівнюють відповідно і (рис.3).

Рис.3.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Чернігів, 2012	\|

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.017 сек.