Інтегральна теорема Лапласа

Знову припустимо, що проводиться n випробувань, в кожному з яких ймовірність появи події А постійна і рівна р (0<р<1). Як обчислити ймовірність того, що подія А з’явиться в n випробуваннях не менш k₁ і не більше k₂ разів (скорочено будемо говорити „від k₁ до k₂ разів”)? На це питання відповідає інтегральна теорема Лапласа, яка приводиться нижче без доведення.

Теорема. Якщо ймовірність р настання події А в кожному випробуванні постійна і відмінна від нуля і одиниці, то ймовірність того, що подія А з’явиться в n випробуваннях від k₁ до k₂ разів, приблизно дорівнює визначеному інтегралу

, (*)

де і .

При розв’язанні задач, що вимагають застосування інтегральної теореми Лапласа, користуються спеціальними таблицями, оскільки невизначений інтеграл не виражається через елементарні функції. Таблиця для інтеграла приводиться в довідниках. В таблиці даються значення функції для позитивних значень х і для х=0; для x<0 користуються тією ж таблицею (функція непарна, тобто ). В таблиці приведені значенні інтеграла лише до х=5, так як для можна прийняти . Функцію часто називають функцією Лапласа.

Для того щоб можна було користуватися таблицею функції Лапласа, перетворимо співвідношення (*) так:

Отже, ймовірність того, що подія А з’явиться в n незалежних випробуваннях від k₁ до k₂ разів,

де і .

Зауваження. Позначимо через m число появ події A при n незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність настання події А постійна і рівна р. Якщо число m змінюється від k₁ до k₂, то вираз змінюється від до . Отже, інтегральну теорему Лапласа можна записати і так:

Ця форма запису використовується нижче.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Локальна теорема Лапласа	\|	Ймовірність відхилення відносної частоти від постійної ймовірності в незалежних випробуваннях

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.003 сек.