• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Локальна теорема Лапласа

Вище була виведена формула Бернуллі, що дозволяє обчислити ймовірність того, що подія з’явиться в n випробуваннях рівно k разів. При виведенні ми мали на увазі, що ймовірність появи події в кожному випробуванні постійна. Легко бачити, що користуватися формулою Бернуллі при великих значеннях n достатньо важко, оскільки формула вимагає виконання дій над величезними числами. Наприклад, якщо n=50, k=30, р=0,1, то для знаходження ймовірності Р₅₀(30) треба обчислити вираз Р₅₀(30)=50!/(30!20!)*(0,1)³⁰*(0,9)²⁰, де 50!=30414093*10⁵⁷, 30!=26525286*10²⁵, 20!=24329020*10¹¹. Правда, можна дещо спростити обчислення, користуючись спеціальними таблицями логарифмів факторіалів. Проте і цей шлях залишається громіздким і до того ж має істотний недолік: в таблицях наведені наближені значення логарифмів, тому в процесі обчислень нагромаджуються погрішності; в результаті остаточний результат може значно відрізнятися від дійсного.

Природно виникає питання, чи не можна обчислити ймовірність, що цікавить нас, не вдаючись до формули Бернуллі? Виявляється, можна. Локальна теорема Лапласа і дає асимптотичну формулу, яка дозволяє приблизно знайти ймовірність появи події рівно k разів в n випробуваннях, якщо число випробувань достатньо велике.

Відмітимо, що для часткового випадку, а саме для р=1/2, асимптотична формула була знайдена в 1730 р. Муавром; в 1783 р. Лаплас узагальнив формулу Муавра для довільного р, відмінного від 0 і 1. Тому теорему, про яку тут йде мова іноді називають теоремою Муавра-Лапласа.

Доведення локальної теореми Лапласа досить складне, тому ми наведемо лише формулювання теореми і приклади, що ілюструють її використання.

Локальна теорема Лапласа. Якщо ймовірність р появи події А в кожному випробуванні постійна і відмінна від нуля і одиниці, то ймовірність P_n(k) того, що подія А з’явиться в n випробуваннях рівно k разів, приблизно дорівнює (тим точніше, чим більше n) значенню функції

при .

Є таблиці, в яких наведені значення функції , що відповідають додатнім значенням аргументу х. Для від’ємних значень аргументу користуються тими ж таблицями, оскільки функція парна, тобто .

Отже, ймовірність того, що подія А з’явиться в n незалежних випробуваннях рівно k разів, приблизно дорівнює

,

де .

Читайте також:

1. В. Друга теорема про розклад.
2. Друга теорема Вейєрштрасса
3. Закон Біо — Савара — Лапласа
4. Закон Біо-Савара-Лапласа
5. Закон Біо-Савара-Лапласа. Магнітне поле прямолінійного та колового струмів
6. Закон Лапласа.
7. Інтегральна теорема Лапласа
8. Космогонічні гіпотези Канта та Лапласа.
9. Локальна та інтегральна теореми Муавра - Лапласа. Формула Пуассона
10. Магнітний потік. Теорема Гауса для магнітного поля
11. Момент інерції. Теорема Гюйгенса-Штейнера

Переглядів: 3189