Формула Бернуллі

ТЕМА 4. ПОВТОРНІ НЕЗАЛЕЖНІ ВИПРОБУВАННЯ ЗА СХЕМОЮ БЕРНУЛЛІ

1. Формула Бернуллі.

2. Локальна теорема Лапласа.

3. Інтегральна теорема Лапласа.

Якщо проводиться декілька випробувань, причому ймовірність події А в кожному випробуванні не залежить від результатів інших випробувань, то такі випробування називають незалежними щодо події А.

В різних незалежних випробуваннях подія А може мати або різні, або одну і ту ж ймовірність. Будемо далі розглядати лише такі незалежні випробування, в яких подія А має одну і ту ж ймовірність.

Нижче скористаємося поняттям складної події, розуміючи під ним поєднання декількох окремих подій, які називають простими

Хай проводиться n незалежних випробувань, в кожному з яких подія А може з’явитися або не з’явитися. Умовимося вважати, що ймовірність події А в кожному випробуванні одна і та же, а саме рівна р. Отже, ймовірність ненастання події А в кожному випробуванні також постійна і рівна q=1-p.

Поставимо перед собою задачу обчислити ймовірність того, що при n випробуваннях подія А здійсниться рівно k раз і, отже, не здійсниться n-k разів. Важливо підкреслити, що не потрібно, щоб подія А повторилася рівно k разів в певній послідовності. Наприклад, якщо йдеться про появу події А три рази в чотирьох випробуваннях, то можливі наступні складні події: , , , . Запис означає, що в першому, другому і третьому випробуваннях подія А настала, а в четвертому випробуванні вона не з’явилася, тобто настала протилежна подія ; відповідний сенс мають і інші записи.

Шукану ймовірність позначимо . Наприклад, символ Р₅(3) означає ймовірність того, що в п’яти випробуваннях подія з’явиться рівно 3 рази і, отже, не настане 2 рази.

Поставлену задачу можна розв’язати за допомогою так званої формули Бернуллі.

Виведення формули Бернуллі. Ймовірність однієї складної події, що полягає в тому, що у n випробуваннях подія А настане k разів і не настане n-k разів, за теоремою множення ймовірностей незалежних подій дорівнює . Таких складних подій може бути стільки, скільки можна скласти сполучень з n елементів по k елементів, тобто . Оскільки ці складні події несумісні, то за теоремою додавання ймовірностей несумісних подій шукана ймовірність дорівнює сумі ймовірностей всіх можливих складних подій. Оскільки ж ймовірності всіх цих складних подій однакові, то шукана ймовірність (появи k разів події А в n випробуваннях) рівна ймовірності однієї складної події, помноженій на їх число:

або

Отриману формулу називають формулою Бернуллі.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Ймовірність гіпотез. Формули Байєса	\|	Локальна теорема Лапласа

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.005 сек.