Ймовірність відхилення відносної частоти від постійної ймовірності в незалежних випробуваннях
Знову будемо вважати, що проводиться n незалежних випробувань, в кожному з яких ймовірність появи події А постійна і рівна р (0<р<1). Поставимо перед собою завдання знайти ймовірність того, що відхилення відносної частоти від постійної ймовірності р за абсолютною величиною не перевищує заданого числа . Іншими словами, знайдемо ймовірність здійснення нерівності
. (*)
Цю ймовірність будемо позначати так: Р().Замінимо нерівність (*) їй рівносильними:
або .
Перемноживши ці нерівності на додатній множник , отримаємо нерівності, рівносильні початковій:
.
Скористаємося інтегральною теоремою Лапласа у формі, указаній в зауваженні (див. 4.3). Поклавши і , маємо
.
Нарешті, замінивши нерівності, що знаходяться в дужках, рівносильною їм початковою нерівністю, остаточно отримаємо
.
Отже, ймовірність здійснення нерівності приблизно дорівнює значенню подвоєної функції Лапласа при .
Запитання для самоперевірки:
1. Які випробування називають незалежними щодо події А?
5. При яких умовах застосовується локальна теорема Лапласа?
6. Сформулюйте інтегральну теорему Лапласа.
7. Як на практиці обчислити ймовірність того, що подія А з’явиться від до разів в незалежних випробувань, якщо ймовірність її появи в кожному випробуванні постійна і відмінна від нуля и одиниці?
8. Як обчислити ймовірність відхилення відносної частоти від постійної ймовірності в незалежних випробуваннях?