• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Випадок непов’язаних(незалежних) вибірок

Гіпотеза щодо рівності математичних сподівань двох нормально розподілених випадкових величин

Нехай є дві незалежні вибірки та , які взято з нормальної сукупності з дисперсіями та . Перевірить нульову гіпотезу , де й - математичні сподівання відповідних генеральних сукупностей.

1 випадок:

Тому що , апріорі, як правило, невідомі, то перш ніж перевірять гіпотезу з початку перевіряють гіпотезу про рівність дисперсій , якщо ця гіпотеза не відкинута, тоді переходимо до перевірки гіпотези:

.

Критерій:

, де , (7.0)

-розподілення Стьюдента з ступенів свободи. Критична область – двостороння.

Якщо, то гіпотезу відкидають.

2 випадок. Дисперсії , усе так як у першому випадку, але , де .

6.5.2 Випадок пов’язаних(залежних) вибірок[2,3]

Нехай дві генеральні сукупності та розподілені нормально, при чому і невідомі. Маємо дві пов’язані(залежні) вибірки , відповідно з першої та другої генеральної сукупності.

Нульову та альтернативну гіпотези можна сформулювати відповідно як

,

або

.

Введемо величину , . Тоді ,

- стандартне відхилення значень різниць .

, .

Таким чином, спостережуване значення статистичного критерію обчислюється за формулою .

За таблицею критичних точок розподілу Стьюдента знаходимо двостороннє критичне значення .

Якщо - немає підстав відхилити .

Якщо - відхиляється.

6.6 Стійкість (робастність) критеріїв*[1]

При використанні розглянутих вище параметричних критеріїв Стьюдента, , та критерія Фішера, повинна виконуватись умова нормального розподілу вибіркових даних. При порушенні цієї вимоги одні критерії зберігають свою працездатність, тобто, ймовірності та при їх використанні залишаються майже такими, я к і при нормальному розподілі, а інші її втрачають.

Визначення 37. Критерії, що зберігають свою працездатність при порушенні вимоги нормального розподілу вибіркових даних називаються робастними (стійкими).

Зауваження. Непараметричні критерії (Колмогорова-Смірнова, Вілкоксона та ін.) мають більшу стійкість, натомість, їх потужність менше,ніж у параметричних. У той же час параметричні критерії (Стьюдента, , та критерій) мають більшу потужність, але не є робастними. Таким чином, доцільне використання одночасно низки як параметричних, так і непараметричних критеріїв при вирішенні певної задачі, якщо це можливо. Саме такий підхід реалізовано в програмних універсальних статистичних пакетах.

Зауваження. Часто має місце ситуація, коли один і той же критерій є стійкім при перевірці певної нульової гіпотези і не є стійким при перевірці іншої. Типовий приклад: критерій при перевірці нульової гіпотези щодо законів розподілу є робастним, тобто веде себе як непараметричний, а при перевірці гіпотези щодо дисперсії випадкової величини, яка вивчається, він не є стійким. Тому коректніше говорити не про робастність певного статистичного критерію, а про робастність певної статистичної процедури (критерій+гіпотеза, що перевіряється).

Розглянемо робастність кожного з наведених вище параметричних критеріїв.

6.6.1 Критерій Стьюдента (кртерій)

Розглянемо критерій (6.1)

з . Де - об’єм вибірки. Вважається, що чисельник та знаменник у виразі (6.1) незалежні. Однак це має місце лише за умови нормального розподілу елементів вибірки. В інших випадках має місце кореляція між чисельником та знаменником з коефіцієнтом кореляції

. (6.2)

Враховуючі той факт, що відповідає за симетрію функції розподілу в.в. і для симетричних розподілів та , з (6.2) виходить, що для симетричних розподілів та за умови достатньо великого об’єму вибірки критерій буде стійким. У [1, с. 144] наведено таблицю довірчих інтервалів для помилки першого роду для різних розподілів, яка дає змогу визначити умови, при яких критерій (6.1) є робастним.

Для стійких випадків критерій (6.1) дає змогу будувати коректні довірчі інтервали для математичних сподівань в. в. та коефіцієнтів регресії.

Стійкість критерію значно більше при порівнянні математичних сподівань двох в. в. У цьому випадку критерій обчислюється за формулою (6.2). Доведено, що якщо обидві вибірки мають один і той же закон розподілу, але відмінний від нормального, то чисельник і знаменник (6.2) корельовані з коефіцієнтом кореляції, при цьому

. (6.3)

З (7.3) також виходить, що для симетричних розподілів та за умови достатньо великого об’єму вибірки критерій буде стійким. А при критерій буде стійким і для випадку несиметричних розподілів. У [4] наведено таблицю, яка дає змогу коректного використання критерію (6.3) для різних комбінацій розподілів та об’ємів вибірок.

Велика стійкість критерію (6.3) має велике значення у промисловій статистиці, соціології, медицині, психології, педагогіці, метрології, маркетингу і т. ін. – скрізь, де має місце дослідження ефекту „до-після” з метою виявлення так званого „ефекту обробки”, особливо для випадків малих вибірок.

6.6.2 Критерій Фішера (критерій). Модифікований критерій (критерій Бокса-Андерсена)

Чутливість критерію також залежить від гіпотези, що перевіряється. критерій найбільш чутливий при перевірці гіпотези щодо рівності двох дисперсій, що має місце головним чином в схемі дисперсійного аналізу. Дослідження показують, що на стійкість критерію найбільш впливає ексцес, який характеризує ступінь гостровершинності розподілу. При цьому Бокс та Андерсен показали, що для більшості випадків порушень нормальності, що мають місце на практиці, вкрай несуттєво впливають на номінальне значення критерію. Для випадків суттєвого порушення передумови нормальності Бокс та Андерсен запропонували модифікований критерій (критерій Бокса-Андерсена). Вони показали, що при розподілах, відмінних від нормального, критерій має розподіл, яке достатньо точно може бути апроксимовано розподілом з наступними степенями свободи:

та , (6.4)

де константа, що має назву „модифікуючого” множника. У свою чергу

, (6.5)

. (6.6)

Модифікуючий множник перетворює нестійкий критерій в стійкий. Однак при малих об’ємах вибірок за потужністю модифікований критерій поступається стандартному при .

Альтернативою модифікованому критерію є критерій Лєвєна [6]. Критерій Лєвєна дещо перевершує модифікований критерій за стійкістю, але поступається йому у потужності.

У дисперсійному аналізі стандартний критерій має велику стійкість і може використовуватись у широкому діапазоні зміни асиметрії та ексцесу досліджуваних випадкових величин.

Читайте також:

1. Види вибірок
2. Випадок довільного розподілу
3. Випадок однорідної системи
4. Випадок рівномірного розподілу на відрізку з фіксованим кінцем
5. Внески на загальнообов’язкове державне соціальне страхування на випадок безробіття
6. Державного соціального страхування на випадок безробіття
7. Джерела коштів Фонду соціального страхування на випадок безробіття та напрями їх використання
8. Джерела формування коштів Фонду соціального страхування на випадок безробіття
9. Заповіт – це розпорядження особи, зроблене у визначеній законом формі, про долю належних їй цінностей на випадок смерті.
10. Клінічний випадок
11. Огляд місця, де стався нещасний випадок

Переглядів: 1007