• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Випадок однорідної системи

Лінійне рівняння а₁х₁+а₂х₂+…+а_пх_п=b називається однорідним, якщо його вільний член b дорівнює нулю. Система лінійних рівнянь називається однорідною, або системою лінійних однорідних рівнянь, якщо всі її вільні члени рівні нулю:

Однорідна система завжди сумісна, бо вона має нульовий розв’язок (0,0,0,…,0). Це видно із теореми 1, оскільки із того, що всі вільні члени рівні нулю, випливає відсутність у відповідній ступінчастій системі рівнянь вигляду 0= b, де b≠0.

Якщо однорідна система зводиться до ступінчастої, в якій кількість рівнянь r дорівнює кількості невідомих п, то, згідно теореми 2, вона має єдиний розв’язок – нульовий. Якщо ж однорідна система зводиться до ступінчастої, в якій кількість рівнянь r менша, ніж кількість невідомих п, то множина розв’язків такої системи нескінченна, а, значить, вона має і ненульові розв’язки. Згідно наслідку 2 така система невизначена.

Нехай =f₁ – деякий ненульовий розв’язок однорідної системи. Тоді cf₁=– теж розв’язок цієї системи.

Якщо ж f₂=– якийсь інший ненульовий розв’язок даної системи, то при довільних c₁ і c₂ лінійна комбінація цих розв’язків теж буде розв’язком системи, оскільки якщо

і (і=1,2,…,п),

то і

Таким чином, довільна лінійна комбінація розв’язків однорідної системи теж буде її розв’язком. Важливими є такі лінійно незалежні розв’язки однорідної системи, через які лінійно виражаються всі решта її розв’язки.

Лінійно незалежна система розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь називається фундаментальною, якщо кожний розв’язок однорідної системи є лінійною комбінацією цієї лінійно незалежної системи.

Ясно, що якщо кількість рівнянь r в ступінчастому вигляді однорідної системи є меншою кількості невідомих п, то така система рівнянь володіє фундаментальною системою розв’язків. Очевидно також і те, що для отримання фундаментальної системи розв’язків (ФСР) можна надавати n-r вільним невідомим довільних значень і так відшукати скільки завгодно різних фундаментальних систем розв’язків, кожна з яких складалася б із n-r лінійно незалежних розв’язків.

Приклади.

1. Розв’язати систему

Розв’язання:

Зведемо розширену матрицю цієї системи до ступінчастого вигляду.

Тут перетворення (1) включає: а) до 2-го рядка додано 1-й, помножений на (-2);

б) до 3-го і 4-го рядків додано 1-й, помножений на (-3);

(2) включає: а) до помноженого на 5 3-го рядка додано помножений на (-8) 2-й рядок;

б) від 4-го рядка віднято 2-й рядок.

Після вилучення рівняння вигляду 0=0 задана система лінійних рівнянь звелася до наступної ступінчастої системи:

Ця система, а, значить, і задана система мають єдиний розв’язок.

2. Розв’язати систему.

Зведемо розширену матрицю цієї системи до ступінчастого вигляду:

.

Ця система несумісна, оскільки містить рівняння 0=14.

3. Розв’язати систему.

Зведемо розширену матрицю цієї системи до ступінчастого вигляду:

Отримано ступінчасту систему:

звідки, позначивши х₃ та х₄ вільними змінними, матимемо:

Це і є загальний розв’язок даної системи.

Частинні розв’язки: (1,-2,1,0), (та інші.

Викладений метод розв’язування систем лінійних рівнянь називається методом Гаусса, або методом послідовного виключення невідомих.

3. Розв’язати однорідну систему і знайти її фундаментальну систему розв’язків.

Отримаємо систему:

Загальний розв’язок:

– вільні невідомі.

Фундаментальну систему отримаємо, якщо вільним невідомим х₃, х₅ надамо значень 1,0 і 0,1 відповідно (визначник матриці відмінний від нуля). Отримаємо:

Розв’язки f₁ та f₂ і утворюють ФСР. Тоді ще один вигляд загального розв’язку системи: f=c₁f₁+c₂f₂, де c₁,c₂ – довільні числа.

б) Метод Крамера розв’язування систем лінійних рівнянь

Розглянемо систему п лінійних рівнянь з п невідомими, визначник d якої відмінний від нуля. Доведемо, що така система сумісна і визначена, і знайдемо формули для знаходження її єдиного розв’язку.

Припустимо, що наша система сумісна. Нехай – деякий її розв’язок. Тоді виконуються рівності:

Помножимо першу з рівностей на алгебраїчне доповнення А_1j елемента a_1j у визначнику системи, другу – на алгебраїчне доповнення A_2j і т. д., нарешті, останню з рівностей – на A_nj ( j=1, 2,..., n ),потім всі отримані рівності додамо. В результаті дістанемо таку рівність:

В записаній рівності коефіцієнт біля дорівнює визначнику d матриці системи (теорема 6.1), а всі інші коефіцієнти дорівнюють нулю (теорема 6.2). Вираз у правій частині є розкладом визначника

за елементами j-го стовпчика, тобто є визначником d_j, який утворено з визначника d заданої системи рівнянь заміною його j-го стовпчика стовпчиком вільних членів. Тому отримана вище рівність запишеться так:

( j=1, 2,…, n ). Звідси, оскільки d ≠ 0 за умовою, отримаємо

Отже, якщо задана система п лінійних рівнянь з п невідомими сумісна, то вона має єдиний розв’язок

.

Таким чином, задана система або має єдиний розв’язок , або зовсім не має розв’язків. Тому для з’ясування питання про сумісність даної системи досить тільки з’ясувати, чи задовольняє система чисел задану систему рівнянь. Для перевірки підставимо числа в ліву частину і-го рівнянння (і=1, 2,…, п).

(оскільки ).

Отже, множина чисел є розв’язком кожного і-го рівняння (і=1,2,…,п) системи, а, значить, і самої системи.

Таким чином, доведено теорему:

Якщо визначник d системи n лінійних рівнянь з n невідомими відмінний від нуля, то система має єдиний розв’язок: , де – визначник, отриманий із визначника d заміною його j-го стовпчика стовпчиком вільних членів системи.

Отримані формули розв’язку називають формулами Крамера, а саму теорему – правилом Крамера.

Наслідок. Система n лінійних однорідних рівнянь з п невідомими тоді і тільки тоді має розв’язки, відмінні від нульового, коли визначник цієї системи дорівнює нулю.

Дійсно, якби визначник однорідної системи лінійних рівнянь був відмінним від нуля, то ця система мала б єдиний нульовий розвязок, що суперечить умові.

Навпаки, якщо визначник системи дорівнює нулю, то ступінчаста матриця цієї системи п рівнянь з п невідомими має хоча б один нульовий рядок, а, значить, кількість рівнянь у відповідній ступінчастій системі менша за число невідомих, звідки випливає існування вільних невідомих і, отже, нескінченної кількості розв’язків, в тому числі і відмінних від нульового.

Правило Крамера пов’язане з громіздкими обчисленнями, але в тих випадках, коли воно застосовне, є можливість виразити всі компоненти розв’язку системи рівнянь через її коефіцієнти і вільні члени.

Приклад.

Розв’язати систему рівнянь

Розв’язання.

Оскільки d ¹ 0, то застосуємо правило Крамера:

Отже,

Розв’язок: (-1;0;1;2).

в) Матричний метод розв’язування систем лінійних рівнянь

Читайте також:

1. I. Органи і системи, що забезпечують функцію виділення
2. I. Особливості аферентних і еферентних шляхів вегетативного і соматичного відділів нервової системи
3. II. Анатомічний склад лімфатичної системи
4. IV. Розподіл нервової системи
5. IV. Система зв’язків всередині центральної нервової системи
6. IV. Філогенез кровоносної системи
7. POS-системи
8. VI. Філогенез нервової системи
9. Автокореляційна характеристика системи
10. АВТОМАТИЗОВАНІ СИСТЕМИ ДИСПЕТЧЕРСЬКОГО УПРАВЛІННЯ
11. АВТОМАТИЗОВАНІ СИСТЕМИ УПРАВЛІННЯ ДОРОЖНІМ РУХОМ
12. Автоматизовані форми та системи обліку.

Переглядів: 1120