МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів
Контакти
Тлумачний словник Авто Автоматизація Архітектура Астрономія Аудит Біологія Будівництво Бухгалтерія Винахідництво Виробництво Військова справа Генетика Географія Геологія Господарство Держава Дім Екологія Економетрика Економіка Електроніка Журналістика та ЗМІ Зв'язок Іноземні мови Інформатика Історія Комп'ютери Креслення Кулінарія Культура Лексикологія Література Логіка Маркетинг Математика Машинобудування Медицина Менеджмент Метали і Зварювання Механіка Мистецтво Музика Населення Освіта Охорона безпеки життя Охорона Праці Педагогіка Політика Право Програмування Промисловість Психологія Радіо Регилия Соціологія Спорт Стандартизація Технології Торгівля Туризм Фізика Фізіологія Філософія Фінанси Хімія Юриспунденкция |
|
|||||||
Способи розв’язування систем лінійних рівняньа) Метод Гаусса розв’язування систем лінійних рівнянь Нехай дано довільну систему m лінійних рівнянь з п невідомими
У даній системі хоча б один із коефіцієнтів біля невідомої х1 відмінний від нуля, бо інакше система не мала б п невідомих. Якщо а11=0, але аs1 ≠ 0, то переставивши перше та s-те рівняння, отримаємо еквівалентну систему, у першому рівнянні якої коефіцієнт при х1 буде відмінним від нуля. Тому вважатимемо, що а11 ≠ 0. Запишемо розширену матрицю системи, відокремивши стовпчик вільних членів:
Застосовуючи елементарні перетворення рядків, зведемо дану матрицю до ступінчастого вигляду. Систему лінійних рівнянь, розширена матриця якої ступінчаста, також називають ступінчастою. Ясно, що ступінчаста система еквівалентна початковій системі. Перетворення системи лінійних рівнянь у ступінчасту систему називають зведенням системи лінійних рівнянь до ступінчастого вигляду. Позначимо ступінчасту матрицю, отриману з матриці , через . Розглянемо такі можливі випадки: 1. У розширеній матриці є рядок, в якому першим ненульовим елементом є його останній елемент. 2. У матриці такого рядка немає. В першому випадку в ступінчастій системі міститься рівняння вигляду де b ≠ 0. Оскільки жодна система чисел не може задовольнити рівняння 0=b, де b ≠ 0, то така ступінчаста система несу-місна. В другому випадку ступінчаста система містить r ненульових рядків і нехай перші ненульові елементи цих рядків знаходяться в стовпчиках з номерами k1=1, k2,k3,…,kr, де k1 <k2 <k3 <…< kr < n. Всі рівняння системи вигляду 0·х1+0·х2+…+0·хn=0 відкинемо. Невідомі , з яких починається перше, друге,…, r-те рівняння системи, називають головними, а всі інші (якщо вони є) – вільними. Якщо вільних невідомих немає, тоді r=n, звідки k1=1, k2=2, k3=3,…, kr=n, і система матиме трикутний вигляд:
де Із останнього рівняння знаходимо хп, а потім, підставивши його в попереднє рівняння, знаходимо хп-1, і т.д., в результаті отримаємо єдині значення невідомих, які і становлять єдиний розв’язок системи. Отже, при відсутності вільних невідомих ступінчаста система лінійних рівнянь сумісна і визначена. Якщо вільні невідомі є, то система має вигляд:
де 1<k2<k3<…<kr<n. Позначимо символом Ві суму всіх тих членів і-го рівняння системи, які містять вільні невідомі. Перенесемо члени з вільними невідомими в праві частини рівнянь і отримаємо:
де Надавши вільним невідомим довільно вибраних числових значень, отримаємо попередній випадок системи без вільних невідомих, який дає єдині значення головних невідомих Сукупність знайдених значень головних невідомих і вибраних нами значень вільних невідомих, ясно, є цілком визначеним розв’язком ступінчастої системи, який відповідає вибраним значенням вільних невідомих. Оскільки значення вільних невідомих можна вибрати довільно, то множина різних наборів, а, значить, множина розв’язків ступінчастої системи є нескінченною. Таким чином, при наявності вільних невідомих ступінчаста система лінійних рівнянь сумісна, але невизначена. Іншими словами, доведено теореми: Теорема 1. Система лінійних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли вона зводиться до ступінчастої системи, в якій немає рівнянь вигляду 0=b, де b≠0. Теорема 2. Система лінійних рівнянь є визначеною тоді і тільки тоді, коли вона зводиться до ступінчастої системи, в якій число рівнянь r дорівнює числу невідомих n. Наслідок 1. Система лінійних рівнянь з п невідомими є визначеною тоді і тільки тоді, коли вона зводиться до ступінчастої системи, в якій Наслідок 2. Сумісна система m лінійних рівнянь з п невідомими при m<n є невизначеною.
Читайте також:
|
||||||||
|