• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Визначення. Якщо кожному натуральному числу n поставлено у відповідність число хn, то говорять, що задано послідовність

x₁, х₂, …, х_n = {x_n}

Загальний елементпослідовності є функцією від n.

x_n = f(n)

У такий спосіб послідовність може розглядатися як функція.

Задати послідовність можна різними способами – головне, щоб був зазначений спосіб одержання будь-якого члена послідовності.

Приклад. {x_n} = {(–1)ⁿ} або {x_n} = –1; 1; –1; 1; …

{x_n} = {sin pn/2} або {x_n} = 1; 0; 1; 0; …

Для послідовностей можна визначити наступні операції:

1) Множення послідовності на число m: m{x_n} = {mx_n}, тобто mx₁, mx₂, …

2) Додавання (вирахування) послідовностей: {x_n} ± {y_n} = {x_n ± y_n}.

3) Добуток послідовностей: {x_n}×{y_n} = {x_n×y_n}.

4) Частка послідовностей: при {y_n} ¹ 0.

Обмежені й необмежені послідовності.

Визначення. Послідовність {x_n} називається обмеженою, якщо існує таке число М>0, що для будь-якого n вірне нерівність:

тобто всі члени послідовності належать проміжку (–М; M).

Визначення. Послідовність {x_n} називається обмеженою згори, якщо для будь-якого n існує таке число М, що

Визначення. Послідовність {x_n}називається обмеженої знизу, якщо для будь-якого n існує таке число М, що

Приклад. {x_n} = n – обмежена знизу {1, 2, 3, … }...

Визначення. Число а називається границею послідовності {x_n}, якщо для будь-якого позитивного e >0 існує такий номер N, що для всіх n > N виконується умова:

Це записується: .

У цьому випадку говорять, що послідовність {x_n} збігається до а при n®¥.

Властивість: Якщо відкинути яке-небудь або число членів послідовності, то виходять нові послідовності, при цьому якщо сходиться одна з них, то сходиться й інша.

Приклад. Довести, що границя послідовності .

Нехай при n > N вірно , тобто . Це вірно при , таким чином, якщо за N взяти цілу частину від , то твердження, наведене вище, виконується.

Приклад. Показати, що при n®¥ послідовність 3, має границею число 2.

Отже: {x_n}= 2 + 1/n; 1/n = x_n – 2

Очевидно, що існує таке число n, що , тобто .

Теорема. Послідовність не може мати більше однієї границі.

Доведення. Припустимо, що послідовність {x_n} має дві границі a і b, не рівні один одному.

x_n ® a; x_n ® b; a ¹ b.

Тоді за визначенням існує таке число e >0, що

Запишемо вираз:

А тому що e – будь-якечисло, те , тобто a = b. Теорему доведено.

Теорема. Якщо x_n ® a, то .

Доведення. З x_n ® a треба, що . У той же час:

, тобто , тобто . Теорему доведено.

Теорема. Якщо x_n ® a, то послідовність {x_n} обмежена.

Слід зазначити, що обернене твердження невірне, тобто з обмеженості послідовності не слідує її збіжність.

Наприклад, послідовність не має границі, хоча

Монотонні послідовності.

Визначення. 1) Якщо x_n+1 > x_n для всіх n, то послідовність зростаюча.

2) Якщо x_n+1 … x_n для всіх n, то послідовність неспадна.

3) Якщо x_n+1 < x_n для всіх n, те послідовність спадна.

4) Якщо x_n+1 „ x_n для всіх n, те послідовність незростаюча

Всі ці послідовності називаються монотонними. Зростаючі й спадні послідовності називаються строго монотонними.

Приклад. {x_n} = 1/n – спадна й обмежена

{x_n} = n – зростаюча й необмежена.

Приклад. Довести, що послідовність {x_n}= монотонна зростаюча.

Знайдемо член послідовності {x_n+1}=

Знайдемо знак різниці: {x_n}–{x_n+1}=

, тому що , то знаменник додатний при будь-якому n.

Таким чином, x_n+1 > x_n. Послідовність зростаюча, що й слід було довести.

Приклад. З'ясувати чи є зростаючою або спадною послідовність {x_n} = .

Знайдемо . Знайдемо різницю

, тому що , то 1 – 4n <0, тобто х_n+1 < x_n. Послідовність монотонно спадає.

Слід зазначити, що монотонні послідовності обмежені принаймні з однієї сторони.

Теорема. Монотонна обмежена послідовність має границю.

Доведення. Розглянемо монотонну неспадну послідовність

Ця послідовність обмежена зверху: , де М – деяке число.

Оскільки будь-яка, обмежене згори, числова множина має чітку верхню грань, то для кожного e > 0 існує таке число N, що x > a – e, де а – деяка верхня грань множини.

Оскільки {x_n} – неспадна послідовність, то при N > n , x_n > a – e.

Звідси a – e < x_n < a + e

–e < x_n – a < e або ôx_n – aô< e, тобто .

Для інших монотонних послідовностей доведення аналогічно. Теорему доведено.

Число е.

Розглянемо послідовність {x_n} = .

Якщо послідовність {x_n} монотонна й обмежена, то вона має скінченну границю.

За формулою бінома Ньютона:

або, що те ж саме

Покажемо, що послідовність {x_n} – зростаюча. Дійсно, запишемо вираз x_n+1 і прирівняємо його з виразом x_n:

Кожний доданок у виразі x_n+1 більше відповідного значення x_n, і, крім того, в x_n+1 додається ще один позитивний доданок. Таким чином, послідовність {x_n} зростаюча.

Доведемо тепер, що при будь-якому n її члени не перевершують трьох: x_n < 3.

Отже, послідовність – монотонно зростаюча і обмежена зверху, тобто має скінченну границю. Цю границю прийнято позначати буквою е.

З нерівності треба, щоб . Відкидаючи в рівності для {x_n} всі члени, починаючи із четвертого, маємо:

переходячи до границі, одержуємо

Таким чином, число е розміщене між числами 2,5 і 3. Якщо взяти більшу кількість членів послідовності, то можна одержати більш точну оцінку значення числа е.

Можна показати, що число е ірраціональне і його значення дорівнює 2,71828...

Аналогічно можна показати, що , розширивши вимоги до х до будь-якого дійсного числа:

Припустимо:

Знайдемо

Число е є основою натурального логарифма.

Вище представлений графік функції y = ln x.

Зв'язок натурального й десяткового логарифмів.

Нехай х = 10^у, тоді ln x = ln10^y, отже ln x = y ln10.

, де М = 1/ln10 » 0,43429… – модуль переходу.

Границя функції в точці.

y f(x)

A + e

A

A – e

0 a – D a a + D x

Нехай функція f(x) визначена в деякому околі точки х = а (тобто в самій точці х = а функція може бути й невизначена).

Визначення. Число А називається границею функції f(x) при х®а, якщо для кожного e >0 існує таке число D>0, що для всіх х таких, що

вірна нерівність .

Те ж визначення може бути записане в іншому вигляді:

Якщо а – D < x < a + D, x ¹ a, то вірна нерівність А – e < f(x) < A + e.

Запис границі функції в точці:

Визначення. Якщо f(x) ® A₁ при х ® а тільки при x < a, то - називається границею функції f(x) в точці х = а ліворуч, а якщо f(x) ® A₂ при х ® а тільки при x > a, то називається границею функції f(x) в точці х = а праворуч.

у

f(x)

А₂

А₁

0 a x

Наведене вище визначення відповідає випадку, коли функція f(x) не визначена в самій точці х = а, але визначена в деякій як завгодно малому околі цієї точки.

Межі А₁ і А₂ називаються також однобічними границями функції f(x) у точці х = а. Також кажуть, що А – скінченна границя функції f(x).

Границя функції при прямуванні аргументу до нескінченності.

Визначення. Число А називається границею функції f(x) при х®¥, якщо для будь-якого числа e>0 існує таке число М>0, що для всіх х, ïхï>M виконується нерівність

При цьому вважається, що функція f(x) визначена в околиці нескінченності.

Записують:

Графічно можна представити:

y y

A A

0 0

x x

y y

A A

0 0

x x

Аналогічно можна визначити границі для будь-якого х >M і

для будь-якого х <M.

Основні теореми про границі.

Теорема 1. , де С = const.

Наступні теореми справедливі в припущенні, що функції f(x) і g(x) мають скінченні границі при .

Теорема 2.

Доведення цієї теореми буде наведено нижче.

Теорема 3.

Наслідок.

Теорема 4. за умови

Теорема 5. Якщо f(x)>0 поблизу точки х = а й , то А>0.

Аналогічно визначається знак границі при

Теорема 6. Якщо поблизу точки х = а й , то й .

Визначення. Функція f(x) називається обмеженоюпоблизу точки х = а, якщо існує таке число М>0, що ïf(x)ï<M поблизу точки х = а.

Теорема 7. Якщо функція f(x) має скінченну границю при , то вона обмежена поблизу точки х = а.

Доведення. Нехай , тобто , тоді

або

, тобто

де М = e + ïАï

Теорему доведено.

Нескінченно малі функції.

Визначення. Функція f(x) називається нескінченно малою при х®а, де а може бути числом або однією з величин ¥, +¥ або – ¥, якщо .

Нескінченно малою функція може бути тільки якщо вказати до якого числа прямує аргумент х. При різних значеннях а функція може бути нескінченно малою чи ні.

Приклад. Функція f(x) = xⁿ є нескінченно малою при х®0 і не є нескінченно малою при х®1, тому що .

Теорема. Для того, щоб функція f(x) при мала границю, рівну А, необхідно й достатньо, щоб поблизу точки х = а виконувалася умова

де – нескінченно мала при ( при .

Властивості нескінченно малих функцій:

1) Сума фіксованого числа нескінченно малих функцій при теж нескінченно мала функція при .

2) Добуток фіксованого числа нескінченно малих функцій при теж нескінченно мала функція при .

3) Добуток нескінченно малої функції на функцію, обмежену поблизу точки х = а є нескінченно малою функцією при .

4) Частка від ділення нескінченно малої функції на функцію, границя якої не дорівнює нулю є величина нескінченно мала.

Використовуючи поняття нескінченно малих функцій, наведемо доведення деяких теорем про границі, наведених вище.

Доведення теореми 2. Представимо , , де

, тоді

A + B = const, – нескінченно мала, значить

Теорему доведено.

Доведення теореми 3. Представимо , , де

, тоді

, і – нескінченно малі, значить

Теорему доведено.

Нескінченно великі функції та їх зв'язок з

нескінченно малими.

Визначення. Границя функції f(x) при х®а, де а – число, що дорівнює нескінченності, якщо для будь-якого числа М >0 існує таке число D>0, що нерівність

виконується при всіх х, що задовольняють умові

Записується .

Властиво, якщо в наведеному вище визначенні замінити умову на f(x)>M, то одержимо:

а якщо замінити на f(x)<M, то:

Графічно наведені вище випадки можна проілюструвати в такий спосіб:

a x a x a x

Визначення. Функція називається нескінченно великоюпри х®а, де а – число або одна з величин ¥, +¥ або – ¥, якщо , де А – число або одна з величин ¥, +¥ або – ¥.

Зв'язок нескінченно великих і нескінченно малих функцій здійснюється у відповідності з наступною теоремою.

Теорема. Якщо при (якщо ) і не обертається в нуль, то

Порівняння нескінченно малих функцій.

Нехай , і – нескінченно малі функції при . Будемо позначати ці функції , і відповідно. Ці нескінченно малі функції можна порівнювати за швидкістю їхнього спадання, тобто за швидкістю їх прямування до нуля.

Наприклад, функція f(x) = x¹⁰ прямує до нуля швидше, ніж функція f(x) = x.

Визначення. Якщо , то функція a називається нескінченно малою вищого порядку, ніж функція b.

Визначення. Якщо , то a і b називаються нескінченно малими одного порядку.

Визначення. Якщо то функції a і b називаються еквівалентними нескінченно малими. Записують .

Приклад. Порівняємо нескінченно малі при х®0 функції f(x) = x¹⁰ і f(x) = x.

тобто функція f(x) = x¹⁰ – нескінченно мала вищого порядку, ніж f(x) = x.

Визначення. Нескінченно мала функція a називається нескінченно малою порядку kвідносно нескінченно малої функції b, якщо границя скінченна й відмінна від нуля.

Однак, слід зазначити, що не всі нескінченно малі функції можна порівнювати між собою. Наприклад, якщо відношення не має границі, то функції непорівнянні.

Приклад. Якщо , то при х®0 , тобто функція a – нескінченно мала порядку 2 щодо функції b.

Приклад. Якщо , то при х®0 не існує, тобто функція a і b непорівнянні.

Властивості еквівалентних нескінченно малих.

1. a ~ a,
2. Якщо a ~ b і b ~ g, то a ~ g,
3. Якщо a ~ b, то b ~ a,
4. Якщо a ~ a₁ і b ~ b₁ і , то й або .

Наслідки: а) якщо a ~ a₁ і , то й

б) якщо b ~ b₁ і , то

Властивість 4 особливо важливо на практиці, тому що воно фактично означає, що границя відношення нескінченно малих не міняється при заміні їх на еквівалентні нескінченно малі. Цей факт дає можливість при знаходженні границь заміняти нескінченно малі на еквівалентні їм функції, що може сильно спростити обчислення границь.

Приклад. Знайти границю

Оскільки tg5x ~ 5x і sin7x ~ 7x при , то, замінивши функції еквівалентними нескінченно малими, одержимо:

Приклад. Знайти границю .

Тому що при х®0, то .

Приклад. Знайти границю

Якщо a і b – нескінченно малі при х®а, причому b – нескінченно мала більше високого порядку, чим a, то g = a + b – нескінченно мала, еквівалентна a. Це можна довести наступною рівністю: .

Тоді кажуть, що a – головна частинанескінченно малої функції g.

Приклад. Функція х² +х – нескінченно мала при х®0, х – головна частина цієї функції. Щоб показати це, запишемо a = х², b = х, тоді

.

Деякі визначні границі.

Перша визначна границя. , де P(x) = a₀xⁿ + a₁x^n–1 +…+a_n,

Q(x) =b₀x^m+b₁x^m–1+…+b_m – багаточлени.

Разом:

Друга визначна границя.

Третя визначна границя.

Часто, якщо безпосереднє знаходження границі якої-небудь функції видається складним, то можна шляхом перетворення функції звести задачу до знаходження визначних меж.

Крім трьох, викладених вище, меж можна записати наступні корисні на практиці співвідношення:

Приклад. Знайти границю.

Приклад. Знайти границю.

Приклад. Знайти границю.

Приклад. Знайти границю.

Приклад. Знайти границю.

Приклад. Знайти границю .

Для знаходження цієї границі розкладемо на множники чисельник і знаменник даного дробу.

x² – 6x + 8 = 0; x² – 8x + 12 = 0;

D = 36 – 32 = 4; D = 64 – 48 = 16;

x₁ = (6 + 2)/2 = 4; x₁ = (8 + 4)/2 = 6;

x₂ = (6 – 2)/2 = 2; x₂ = (8 – 4)/2 = 2;

Тоді

Приклад. Знайти границю.

домножимо чисельник і знаменник дробу на спряжений вираз: =

= .

Приклад. Знайти границю.

Приклад. Знайти границю .

Розкладемо чисельник і знаменник на множники.

x² – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2)

x³ – 6x² + 11x – 6 = (x – 1)(x – 2)(x – 3), тому що

x³ – 6x² + 11x – 6 x – 1

x³ – x² x² – 5x + 6

– 5x² + 11x

– 5x² + 5x

6x – 6

6x – 6

x² – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)

Тоді

Приклад. Знайти границю.

Для самостійного розв’язання:

8. 8) – не визначений.

Неперервність функції в точці.

Визначення. Функція f(x), визначена в околі деякої точки х₀, називається неперервною в точціх₀, якщо границя функції і її значення в цій точці рівні, тобто

Той же факт можна записати інакше:

Визначення. Якщо функція f(x) визначена в деякому околі точки х₀, але не є неперервною в самій точці х₀, то вона називається розривною функцією, а точка х₀ – точкою розриву.

Приклад неперервної функції:

y

f(x₀)+e

f(x₀)

f(x₀)–e

0 x₀–D x₀ x₀+D x

Приклад розривної функції:

y

f(x₀)+e

f(x₀)

f(x₀)–e

x₀ x

Визначення. Функція f(x) називається неперервною в точці х₀, якщо для будь-якого додатного числа e > 0 існує таке число D > 0, що для будь-яких х, що задовольняють умові

вірна нерівність .

Визначення. Функція f(x) називається неперервною в точці х = х₀, якщо приріст функції в точці х₀ є нескінченно малою величиною.

де a(х) – нескінченно мала при х®х₀.

Властивості неперервних функцій.

1) Сума, різниця й добуток неперервних у точці х₀ функцій – є функція, неперервна в точці х₀.

2) Частка двох неперервних функцій є неперервна функція за умови, що g(x) не дорівнює нулю в точці х₀.

3) Суперпозиція неперервних функцій є неперервною функцією. Ця властивість може бути записана в такий спосіб:

Якщо u = f(x), v = g(x) – неперервні функції в точці х = х₀, то функція v = g(f(x)) – теж неперервна функція в цій точці.

Справедливість наведених вище властивостей можна легко довести, використовуючи теореми про границі.

Неперервність деяких елементарних функцій.

1) Функція f(x) = C, C = const – неперервна функція на всій області визначення.

2) Раціональна функція неперервна для всіх значень х, крім тих, при яких знаменник обертається в нуль. Таким чином, функція цього виду неперервна на всій області визначення.

3) Тригонометричні функції неперервні на своїй області визначення.

Доведемо властивість 3 для функції y = sin x.

Запишемо приріст функції , або після перетворення:

Дійсно, є границя добутку двох функцій і . При цьому функція косинус обмежена функція при Dх®0 , а оскільки границя функції синус , то вона є нескінченно малою при Dх®0.

Таким чином, є добуток обмеженої функції на нескінченно малу, отже цей добуток, тобто функція Dу – нескінченно мала. Відповідно до розглянутого вище визначеннями, функція у = sin x – неперервна функція для будь-якого значення х = х₀ з області визначення, тому що її приріст у цій точці – нескінченно мала величина.

Аналогічно можна довести неперервність інших тригонометричних функцій на всій області визначення.

Взагалі варто відмітити, що всі основні елементарні функції неперервні на всій своїй області визначення.

Точки розриву і їхня класифікація.

Розглянемо деяку функцію f(x), неперервну в околиці точки х₀, за винятком може бути самої цієї точки. З визначення точки розриву функції треба, щоб х = х₀ була точкою розриву, якщо функція не визначена в цій точці, або не є в ній неперервною.

Слід зазначити також, що неперервність функції може бути однобічною. Пояснимо це в такий спосіб.

Якщо однобічна границя (див. вище) , то функція називається неперервною праворуч.

х₀

Якщо однобічна границя (див. вище) , то функція називається неперервною ліворуч.

х₀

Визначення. Точка х₀ називається точкою розривуфункції f(x), якщо f(x) не визначена в точці х₀ або не є неперервною в цій точці.

Визначення. Точка х₀ називається точкою розриву 1-го роду, якщо в цій точці функція f(x) має скінченні, але не рівні між собою ліву і праву границі.

Для виконання умов цього визначення непотрібно, щоб функція була визначена в точці х = х₀, достатньо того, щоб вона була визначена ліворуч і праворуч від неї.

З визначення можна зробити висновок, що в точці розриву 1-го роду функція може мати тільки скінченний стрибок. У деяких окремих випадках точку розриву 1-го роду ще іноді називають усувноюточкою розриву, але докладніше про це поговоримо нижче.

Визначення. Точка х₀ називається точкою розриву 2-го роду, якщо в цій точці функція f(x) не має хоча б одної з однобічних границь або хоча б одна з них нескінченна.

Приклад. Функція Діріхле (Діріхле Петер Густав (1805–1859) – німецький математик, член-кореспондент Петербурзької АН з 1837р.)

не є неперервною в будь-якій точці х₀.

Приклад. Функція f(x) = має в точці х₀ = 0 точку розриву 2-го роду, тому що

.

Приклад.

Функція невизначена в точці х = 0, але має в ній кінцева границя , тобто в точці х = 0 функція має точку розриву 1-го роду. Це – усувна точка розриву, тому що якщо довизначити функцію:

Графік цієї функції:

Приклад.

y

0 x

–1

Ця функція також позначається sign(x) – знак х. У точці х = 0 функція не визначена. Оскільки ліва й права границі функції різні, то точка розриву – 1-го роду. Якщо довизначити функцію в точці х = 0, поклавши f(0) = 1, то функція буде неперервна праворуч, якщо покласти f(0) = –1, то функція буде неперервною ліворуч, якщо покласти f(x) рівне якому-небудь числу, відмінному від 1 або –1, то функція не буде неперервна ні ліворуч, ні праворуч, але у всіх випадках проте буде мати в точці х = 0 розрив 1-го роду. У цьому прикладі точка розриву 1-го роду не є усувною.

Таким чином, для того, щоб точка розриву 1-го роду була усувною, необхідно, щоб однобічні границі праворуч і ліворуч були скінченні й рівні, а функція була б у цій точці не визначена.

Неперервність функції на інтервалі й на відрізку.

Визначення. Функція f(x) називається неперервною на інтервалі (відрізку), якщо вона неперервна в будь-якій точці інтервалу (відрізка).

При цьому не потрібна неперервність функції на кінцях відрізка або інтервалу, необхідна тільки однобічна неперервність на кінцях відрізка або інтервалу.

Властивості функцій, неперервних на відрізку.

Властивість 1: (Перша теорема Вейєрштраса (Вейерштрас Карл (1815–1897) – німецький математик)). Функція, неперервна на відрізку, обмежена на цьому відрізку, тобто на відрізку [a, b] виконується умова .

Доведення цієї властивості засноване на тому, що функція, неперервна в точці х₀, обмежена в деякому її околі, а якщо розбивати відрізок [a, b] на нескінченну кількість відрізків, які “стягаються” до точки х₀, то утвориться деякий окіл точки х₀.

Властивість 2: Функція, неперервна на відрізку [a, b], приймає на ньому найбільше й найменше значення.

Тобто існують такі значення х₁ і х₂, що f(x₁) = m, f(x₂) = M, причем

Відзначимо, що ці найбільші й найменші значення функція може приймати на відрізку й кілька разів (наприклад – f(x) = sin x).

Різниця між найбільшим і найменшим значенням функції на відрізку називається коливаннямфункції на відрізку.

Властивість 3: (Друга теорема Больцано-Коші). Функція, неперервна на відрізку [a, b], приймає на цьому відрізку всі значення між двома певними величинами.

Властивість 4: Якщо функція f(x) неперервна в точці х = х₀, то існує деякий окіл точки х₀, у якій функція зберігає знак.

Властивість 5: (Перша теорема Больцано(1781–1848)-Коші). Якщо функція f(x) – неперервна на відрізку [a, b] і має на кінцях відрізка значення протилежних знаків, то існує така точка усередині цього відрізка, де f(x) = 0.

Тобто, якщо sign(f(a)) ¹ sign(f(b)), то $ х₀: f(x₀) = 0.

Визначення. Функція f(x) називається рівномірно неперервною на відрізку [a, b], якщо для кожного e > 0 існує D > 0 таке, що для будь-яких точок х₁Î[a, b] і x₂Î[a, b] таких, що

ïх₂ – х₁ï< D

вірна нерівність ïf(x₂) – f(x₁)ï < e

Відмінність рівномірної неперервності від “звичайної” у тім, що для кожного e існує своє D, що не залежить від х, а при “звичайній” неперервності D залежить від e і х.

Властивість 6: Теорема Кантора (Кантор Георг (1845–1918) – німецький математик). Функція, неперервна на відрізку, рівномірно неперервна на ньому.

(Ця властивість справедлива тільки для відрізків, а не для інтервалів і напівінтервалів.)

Приклад.

Функція неперервна на інтервалі (0, а), але не є на ньому рівномірно неперервної, тому що існує таке число D>0 таке, що існують значення х₁ і х₂ такі, щоïf(x₁) – f(x₂)ï>e, e – будь-яке число за умови, що х₁ і х₂ близькі до нуля.

Властивість 7: Якщо функція f(x) визначена, монотонна й неперервна на деякому проміжку, то й обернена їй функція х = g(y) теж однозначна, монотонна й неперервна.

Приклад. Досліджувати на неперервність функцію й визначити тип точок розриву, якщо вони є.

у точці х = –1 функція неперервна в точці х = 1 точка розриву 1-го роду

у

–4 –1 0 1 х

Приклад. Дослідити на неперервність функцію й визначити тип точок розриву, якщо вони є.

у точці х = 0 функція неперервна в точці х = 1 точка розриву 1-го роду

у

–p –p/2 0 1 x

Елементи вищої алгебри.

Основні поняття теорії множин.

Визначення. Множиною Мназивається об'єднання в єдине ціле певних розрізнюваних об'єктів а, які називаються елементамимножини.

а Î М

Множину можна описати, указавши якусь властивість, властиву всім елементам цієї множини.

Множина, що не містить елементів, називається порожньоюі позначається Æ.

Визначення. Якщо всі елементи множини А є також елементами множини В, то кажуть, що множина А включається (міститься) у множині В.

А

В

Визначення. Якщо А Í В, то множина А називається підмножиноюмножини В, а якщо при цьому А ¹ В, то множина А називається власною підмножиною множини В и позначається А Ì В.

Для трьох множин А, В, С справедливі наступні співвідношення.

Зв'язок між включенням і рівністю множин встановлюється наступним співвідношенням:

Тут знак Ù позначає кон’юнкцію(логічне “і”).

Операції над множинами.

Визначення. Об'єднанняммножин А и В називається множина С, елементи якого належать хоча б одному із множин А и В.

Позначається .

А

В

Геометричне зображення множин у вигляді області на площині називається діаграмою Ейлера-Вейна.

Визначення. Перетиноммножин А и В називається множина С, елементи якої належать кожній з множин А и В.

Позначення .

А С В

Для множин А, В и С справедливі наступні властивості:

А Ç А = А È А = А; A È B = B È A; A Ç B = B Ç A;

(A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C); (A È B) È C = A È (B È C);

A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C); A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C);

A È (A Ç B) = A; A Ç (A È B) = A;

Æ = А; A Ç Æ = Æ;

Визначення. Різницеюмножин А и В називається множина, що складається з елементів множини А, що не належать множині В.

Позначається С = А \ В.

А В

Визначення. Симетричною різницею множин А и В називається множина С, елементи якого належать у точності одному із множин А або В.

Позначається А D В.

А D В = (A \ B) È (B \ A)

A B

Визначення. С_Е називається доповненняммножини А щодо множини Е, якщо А Í Е і C_Е = Е \ A.

A E

Для множин А, В и С справедливі наступні співвідношення:

A \ B Í A; A \ A = Æ; A \ (A \ B) = A Ç B;

A D B = B D A; A D B = (A È B) \ (A Ç B);

A \ (B È C) = (A \ B) Ç (A \ C); A \ (B Ç C) = (A \ B) È (A \ C);

(A È B) \ C = (A \ C) È (B \ C); (A Ç B) \ C = (A \ C) Ç (B \ C);

A \ (B \ C) = (A \ B) È (A Ç C); (A \ B) \ C = A \ (B È C);

(A D B) D C = A D (B D C); A Ç (B D C) = (A Ç B) D (A Ç C);

A È C_EA = E; A Ç C_EA = Æ; C_EE = Æ; C_EÆ = E; C_EC_EA = A;

C_E(A È B) = C_EA Ç C_EB; C_E(A Ç B) = C_EA È C_EB;

Приклад. Виходячи з визначення рівності множин і операцій над множинами, довести тотожність і перевірити її за допомогою діаграми Ейлера-Вейна.

Із записаних вище співвідношень видно, що

Æ = A \ В

Що й було потрібно довести.

Для ілюстрації отриманого результату побудуємо діаграми Ейлера-Вейна:

А В А В

AÇB

Приклад. Виходячи з визначення рівності множин і операцій над множинами, довести тотожність.

A \ (B È C) = (A \ B) Ç (A \ C)

Якщо деякий елемент х Î А \ (В È С), то це означає, що цей елемент належить множині А, але не належить множинам В и С.

Множина А \ В являє собою множину елементів множини А, що не належать множині В.

Множина А \ С являє собою множину елементів множини А, що не належать множині С.

Множина (A \ B) Ç (A \ C) являє собою множина елементів, які належать множині А, але не належать ні множині В, ні множині С.

Таким чином, тотожність можна вважати доведеною.

Відносини й функції.

Визначення. Упорядкованою парою (a, b) двох елементів a і b називається множина {{a},{a, b}}.

Для будь-яких елементів a, b, c, d справедливе співвідношення:

Визначення. Декартовим добуткоммножин А и В називається множина всіх упорядкованих пар (a, b), де аÎА, bÎB.

Декартовий добуток п рівних множин А буде називатися п-им декартовим степенем множини А і позначається Аⁿ.

Визначення. n-мірним відношеннямR на непорожній множині А називається підмножина Аⁿ. Якщо R – n-мірне відношення на множині А і (а₁,а₂,…а_n)ÎR, то кажуть, що відношення R виконується для елементів а₁,а₂,…а_n, і записують R а₁а₂…а_n. Якщо n = 2, то таке відношення називається бінарним.

Для бінарного відношення замість загального запису Ra₁a₂ застосовують запис а₁Ra₂.

Властивості бінарних відносин.

Визначення. Добутком двох бінарних відносин R і S, заданих на множині А, називається множина

Знак | називається штрих Шеффера й позначає антикон’юнкцію.

Визначення. Оберненим (інверсним) відношенням до відношення R, заданого на множині А, називається відношення R^–1, обумовлене рівністю:

Якщо R, S і T – бінарні відносини на множині А, то виконуються наступні рівності:

Алгебраїчні структури.

Визначення. На множині А визначена алгебраїчна операція,якщо кожним двом елементам цієї множини, узятим у певному порядку, однозначним образом поставлений у відповідність деякий третій елемент із цієї ж множини.

Прикладами алгебраїчних операцій можуть слугувати такі операції як додавання й віднімання цілих чисел, додавання й віднімання векторів, матриць, множення квадратних матриць, векторне множення векторів та ін.

Відзначимо, що скалярний добуток векторів не може вважатися алгебраїчною операцією, тому що результатом скалярного добутку буде число, а числа не належать до множини векторів, до якого належать співмножники.

Визначення. Множина А з заданою на ній алгебраїчною операцією (наприклад, множенням) називається групою, якщо виконані такі умови:

1) для будь-яких трьох елементів a, b, c Î A виконується властивість асоціативності:

2) у множині А існує такий елемент е, що для будь-якого елемента а із цієї множини виконується рівність:

3) для будь-якого елемента а множини існує елемент а' з цієї ж множини, такий, що

Різні множини можуть бути групою щодо якоїсь операції й не бути групою щодо іншої операції.

Число елементів називається порядком групи.

Визначення. Між елементами множин M і N встановлено взаємно однозначну відповідність, якщо кожному елементу множини М поставлено у відповідність певний елемент множини N, причому різним елементам однієї множини відповідають різні елементи іншої множини.

Визначення. Дві групи M і N називаються ізоморфними, якщо між їхніми елементами можна встановити взаємно однозначну відповідність, при якій для будь-якого двох елементів a, bÎ M і відповідних їм елементів a’, b’Î N елементу

с = ab буде відповідає елемент c’ = a’b’.

При цьому відображення групи М на групу N називається гомоморфізмом.

Визначення. Якщо операція, визначена в групі комутативна, (тобто для будь-яких елементів a і b групи вірне співвідношення ab=ba), то така група називається комутативноюабо абелевою групою.

Визначення. Множина R з двома заданими в ній алгебраїчними операціями, додаванням і множенням, називається кільцем, якщо щодо операції додавання вона є абелевою групою, а операція множення дистрибутивна, тобто для будь-яких елементів a, b і с Î R справедливі рівності:

Якщо операція множення, задана в кільці комутативна, то таке кільце називається комутативнимкільцем.

Визначення. Полем називається комутативне кільце, у якому для будь-якого ненульового елемента a¹ 0 і будь-якого елемента b існує єдиний елемент х такий, що ax = b.

Дискретна математика.

Елементи комбінаторики.

Якщо з деякої кількості елементів, різних між собою, складати різні комбінації, то серед них можна виділити три типи комбінацій, що носять загальну назву – з'єднання.

Розглянемо докладніше ці три типи з'єднань:

1) Перестановки.

Визначення. Якщо в деякій множині переставляти місцями елементи, залишаючи незмінною їх кількість, то кожна отримана в такий спосіб комбінація називається перестановкою.

Загальне число перестановок з m елементів позначається P_m і обчислюється за формулою:

2) Розміщення.

Визначення. Якщо складати з т різних елементів групи по n елементів у кожній, розташовуючи взяті елементи у різному порядку. Комбінації, що вийшли при цьому, називаються розміщеннями з т елементів по n.

Загальне число таких розміщень розраховуються за формулою:

Загалом кажучи, перестановки є частковим випадком розміщень.

3) Сполучення.

Визначення. Якщо з т елементів складати групи по п елементів у кожній, не звертаючи уваги на порядок елементів у групі, то комбінації, що вийшли при цьому, називаються сполученнями з т елементів по n.

Загальне число сполучень знаходиться за формулою:

Також одним з варіантів комбінацій є перестановки з повторюваними елементами.

Якщо серед т елементів є т₁ однакових елементів одного типу, т₂ однакових елементів іншого типу і далі, то при перестановці цих елементів усілякими способами одержуємо комбінації, кількість яких визначається за формулою:

Приклад. Номер автомобіля складається із трьох літер і трьох цифр. Скільки різних номерів можна скласти, використовуючи 10 цифр і алфавіт з 30 літер.

Очевидно, що кількість всіх можливих комбінацій з 10 цифр по 4 дорівнює 10.000.

Число всіх можливих комбінацій з 30 літер по двом дорівнює . Якщо врахувати можливість того, що літери можуть повторюватися, то число повторюваних комбінацій дорівнює 30 (одна можливість повтору для кожної літери). Разом, повна кількість комбінацій по дві літери дорівнює 900.

Якщо до номера додається ще одна літера з алфавіту в 30 літер, то кількість комбінацій збільшується в 30 разів, тобто досягає 27.000 комбінацій.

Остаточно, оскільки кожній літерній комбінації можна поставити у відповідність числову комбінацію, то повна кількість автомобільних номерів дорівнює 270.000.000.

Біном Ньютона. (поліноміальна формула)

Надалі буде отримано формулу бінома Ньютона за допомогою прийомів диференціального числення.

Біном Ньютона – це формула, що виражає вираз (a + b)ⁿ у вигляді багаточлена. Ця формула має вигляд:

– число сполучень з п елементів по k.

Широко відомі формули скороченого множення квадрата суми й різниці, куба суми й різниці, є окремими випадками бінома Ньютона.

Коли ступінь бінома невисокий, коефіцієнти багаточлена можуть бути знайдені не розрахунком по формулі кількості сполучень, а за допомогою так званого трикутника Паскаля. (Блез Паскаль (1623–1662) – французький математик).

Цей трикутник має вигляд:

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

…………………

Формула бінома Ньютона може бути узагальнена для довільного числа доданків.

Нагадаємо, що при обчисленнях 0! приймається рівним 1.

Приклад. У розкладанні знайти члени, що містять х^a, якщо k=3, p=2, n=8, a=9.

За формулою бінома Ньютона маємо:

З врахуванням числових значень:

В принципі, можна написати розклад цього виразу в багаточлен, визначити коефіцієнти або безпосередньо, або із трикутника Паскаля (степінь бінома порівняно невеликий), однак, робити це не обов'язково, тому що необхідно знайти тільки член розкладу, що містить х⁹.

Знайдемо число i, що відповідає цьому члену:

Знаходимо:

Приклад. У розкладі знайти члени, що містять x^g. т=9, g=6.

За узагальненою формулою бінома Ньютона одержуємо:

Для знаходження повного розкладу необхідно визначити всі можливі значення n_i, однак, це пов'язане з величезними обчисленнями. Однак, оскільки треба знайти тільки члени, що містять х⁶, то n₁ = 6, а сума всіх чотирьох значень п дорівнює 9. Виходить, сума п₂ + п₃ + п₄ = 3.

Розглянемо можливі значення цих величин:

Шукані члени розкладу:

Елементи математичної логіки.

Математична логіка – різновид формальної логіки, тобто науки, що вивчає умовиводи з погляду їхньої формальної будови.

Визначення. Висловлюванням називається пропозиція, до якого можливо застосувати поняття істинне або неправдиве.

У математичній логіці не розглядається сам зміст висловлень, визначається тільки його істинність або хибність, що прийнято позначати відповідно І або Н.

Зрозуміло, що істині й помилкові висловлювання утворять відповідні множини. За допомогою простих висловлень можна складати складніші, з'єднуючи прості висловлювання сполучниками “і”, “або”.

Таким чином, операції з висловлюваннями можна описувати за допомогою деякого математичного апарата.

Вводяться наступні логічні операції (зв'язування) над висловлюваннями

1) Заперечення. Запереченням висловлювання Р називається висловлювання, що істинне тільки тоді, коли висловлювання Р неправдиве.

Позначається Р або .

Відповідність між висловлюваннями визначається таблицями істинності. У нашому випадку ця таблиця має вигляд:

2) Кон’юнкція. Кон’юнкцією двох висловлювань P і Q називається висловлювання, істинне тоді й тільки тоді, коли істинні обоє висловлювань.

Позначається P&Q або РÙQ.

3) Диз'юнкція. Диз'юнкцією двох висловлень P і Q називається висловлювання, помилкове тоді й тільки тоді, коли обоє висловлювання помилкові.

Позначається PÚQ.

4) Імплікація. Імплікацією двох висловлень P і Q називається висловлювання, неправдиве тоді й тільки тоді, коли висловлювання Р істинне, а Q – неправдиве.

Позначається PÉQ (або РÞQ). Висловлювання Р називається посилкою імплікації, а висловлювання Q – наслідком.

5) Еквіваленція. Еквіваленцією двох висловлень P і Q називається висловлювання, істинне тоді й тільки тоді, коли істинність висловлювань збігається.

Позначається Р~Q або РÛQ.

За допомогою цих основних таблиць істинності можна скласти таблиці істинності складних формул.

Приклад. За допомогою таблиць істинності перевірити, чи є еквівалентними формули j і ψ.

Складемо таблиці істинності для кожної формули:

Дані формули не є еквівалентними.

Приклад. За допомогою таблиць істинності перевірити, чи є еквівалентними формули j і ψ.

Складемо таблиці істинності для заданих формул.

Читайте також:

1. Аналіз обсягу виробництва продукції в натуральному й вартісному вираженні.
2. Багатокрокове прогнозування з перенавчанням нейромережі на кожному кроці прогнозу
3. Валентність — це здатність атомів одного елемента сполу­чатися з певним числом атомів інших елементів під час утворення хімічних сполук.
4. Вартість грошей Число обертів грошової одиниці
5. Взаємозв’язок з освітніми системами інших країн, відповідність вищої освіти України світовому рівню.
6. Види виробничої потужності, чинники, що її визначають, послідовність розрахунків
7. Визначення величини одноденних витрат окремих видів матеріальних цінностей (у натуральному і грошовому виразі).
8. Визначення допустимого часу початку входу в зону зараження (початку роботи) за заданою дозою опромінення
9. Визначення середньої теплоємності в заданому інтервалі температур
10. Визначення.
11. Визначення. Матриці, отримані в результаті елементарного перетворення, називаються еквівалентними.
12. Визначення. Точка О називається полюсом, а промінь l – полярною віссю.

Переглядів: 2405