• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Визначення. Точка О називається полюсом, а промінь l – полярною віссю.

Суть задання який-небудь системи координат на площині полягає в тому, щоб кожній точці площини поставити у відповідність пару дійсних чисел, що визначають положення цієї точки на площині. У випадку полярної системи координат роль цих чисел грають відстань точки від полюса й кут між полярною віссю й радіус-вектором цієї точки. Цей кут j називається полярним кутом.

М

r

r =

j

О

l

Можна встановити зв'язок між полярною системою координат і декартовою прямокутною системою, якщо помістити початок декартової прямокутної системи в полюс, а полярну вісь направити уздовж додатного напрямку осі Ох.

Тоді координати довільної точки у двох різних системах координат зв'язуються співвідношеннями:

; ;

Приклад. Рівняння кривої в полярній системі координат має вигляд:

. Знайти рівняння кривої в декартовій прямокутній системі координат, визначити тип кривої, знайти фокуси й ексцентриситет. Схематично побудувати криву.

Скористаємося зв'язком декартової прямокутної й полярної системи координат: ;

Одержали канонічне рівняння еліпса. З рівняння видно, що центр еліпса зсунутий вздовж осі Ох на 1/2 вправо, велика піввісь a дорівнює 3/2, менша піввісь b дорівнює , половина відстані між фокусами дорівнює . Ексцентриситет дорівнює е = с/a = 1/3. Фокуси F₁(0; 0) і F₂(1; 0).

y

F₁ F₂

–1 О ½ 1 2 x

–

Приклад. Рівняння кривої в полярній системі координат має вигляд:

. Знайти рівняння кривої в декартовій прямокутній системі координат, визначити тип кривої, знайти фокуси й ексцентриситет. Схематично побудувати криву.

Підставимо в задане рівняння формули, що зв'язують полярну й декартову прямокутну системи координат.

Одержали канонічне рівняння гіперболи. З рівняння видно, що гіпербола зсунута вздовж осі Ох на 5 вліво, велика піввісь а дорівнює 4, менша піввісь b дорівнює 3, звідки одержуємо c² = a² + b² ; c = 5; e = c/a = 5/4.

Фокуси F₁(–10; 0), F₂(0; 0).

Побудуємо графік цієї гіперболи.

y

F₁ –9 –5 –1 О F₂ x

–3

Аналітична геометрія в просторі.

Рівняння лінії в просторі.

Як на площині, так і в просторі, будь-яка лінія може бути визначена як сукупність точок, координати яких у деякій обраній у просторі системі координат задовольняють рівнянню:

F(x, y, z) = 0.

Це рівняння називається рівнянням лінії в просторі.

Крім того, лінія в просторі може бути визначена й інакше. Її можна розглядати як лінію перетину двох поверхонь, кожна з яких задана яким-небудь рівнянням.

Нехай F(x, y, z) = 0 і Ф(x, y, z) = 0 – рівняння поверхонь, що перетинаються по лінії L.

Тоді пари рівнянь

назвемо рівнянням лінії в просторі.

Рівняння прямої в просторі за точкою та

напрямним вектором.

Візьмемо довільну пряму й вектор (m, n, p), паралельний даній прямій. Вектор називається напрямним вектором прямої.

На прямій візьмемо дві довільні точки М₀(x₀, y₀, z₀) і M(x, y, z).

z

M₁

M₀

О y

x

Позначимо радіус-вектори цих точок як і , мабуть, що – = .

Оскільки вектори й колінеарні, то вірне співвідношення = t, де t – деякий параметр.

Разом, можна записати: = + t.

Оскільки цьому рівнянню задовольняють координати будь-якої точки прямої, то отримане рівняння – параметричне рівняння прямої.

Це векторне рівняння може бути представлене в координатній формі:

Перетворивши цю систему й дорівнявши значення параметра t, одержуємо канонічні рівняння прямої в просторі:

.

Визначення. Напрямними косинусамипрямої називаються напрямні косинуси вектора , які можуть бути обчислені за формулами:

; .

Звідси одержимо: m : n : p = cos a : cos b : cos g.

Числа m, n, p називаються кутовими коефіцієнтами прямої. Оскільки – ненульовий вектор, то m, n і p не можуть дорівнювати нулю одночасно, але одне або два із цих чисел можуть дорівнювати нулю. У цьому випадку в рівнянні прямої варто прирівняти до нуля відповідні чисельники.

Рівняння прямої в просторі, що проходить

через дві точки.

Якщо на прямій у просторі відзначити дві довільні точки M₁(x₁, y₁, z₁) і M₂(x₂, y₂, z₂), то координати цих точок повинні задовольняти отриманому вище рівнянню прямої:

.

Крім того, для точки М₁ можна записати:

.

Вирішуючи спільно ці рівняння, одержимо:

.

Це рівняння прямої, що проходить через дві точки в просторі.

Загальні рівняння прямої в просторі.

Рівняння прямої може бути розглянуте як рівняння лінії перетину двох площин.

Як було розглянуто вище, площина у векторній формі може бути задана рівнянням:

× + D = 0, де

– нормаль площини; – радіус-вектор довільної точки площини.

Нехай у просторі задані дві площини: × + D₁ = 0 і × + D₂ = 0, вектори нормалі мають координати: (A₁, B₁, C₁), (A₂, B₂, C₂); (x, y, z).

Тоді загальні рівняння прямої у векторній формі:

Загальні рівняння прямої в координатній формі:

Практична задача часто полягає в приведенні рівнянь прямих у загальному виді до канонічного виду.

Для цього треба знайти довільну точку прямої й числа m, n, p.

При цьому напрямний вектор прямої може бути знайдений як векторний добуток векторів нормалі до заданих площин.

Приклад. Знайти канонічне рівняння, якщо пряма задана у вигляді:

Для знаходження довільної точки прямій, приймемо її координату х = 0, а потім підставимо це значення в задану систему рівнянь.

, тобто А(0, 2, 1).

Знаходимо компоненти напрямного вектора прямої.

Тоді канонічні рівняння прямої:

Приклад. Привести до канонічного виду рівняння прямої, задане у вигляді:

Для знаходження довільної точки прямої, що є лінією перетину зазначених вище площин, приймемо z = 0. Тоді:

;

2x – 9x – 7 = 0;

x = –1; y = 3;

Одержуємо: A(–1; 3; 0).

Напрямний вектор прямої: .

Отже:

Кут між площинами.

j j₁ О

Кут між двома площинами в просторі j пов'язаний з кутом між нормалями до цих площин j₁ співвідношенням: j = j₁ або j = 180⁰ – j₁, тобто cos j = ±cos j₁.

Визначимо кут j₁. Відомо, що площини можуть бути задані співвідношеннями:

, де

(A₁, B₁, C₁), (A₂, B₂, C₂). Кут між векторами нормалі знайдемо з їхнього скалярного добутку:

.

Таким чином, кут між площинами знаходиться за формулою:

Вибір знака косинуса залежить від того, який кут між площинами слід знайти – гострий, або суміжний з ним тупий.

Умови паралельності й перпендикулярності

площин.

На основі отриманої вище формули для знаходження кута між площинами можна знайти умови паралельності й перпендикулярності площин.

Для того, щоб площини були перпендикулярні необхідно й достатньо, щоб косинус кута між площинами дорівнював нулю. Ця умова виконується, якщо:

.

Площини паралельні, вектори нормалей колінеарні: ïï .Ця умова виконується, якщо: .

Кут між прямими в просторі.

Нехай у просторі задані дві прямі. Їхні параметричні рівняння:

l₁:

l₂:

Кут між прямими j і кут між напрямними векторами j цих прямих пов'язані співвідношенням: j = j₁ або j = 180⁰ – j₁. Кут між напрямними векторами знаходиться зі скалярного добутку у такий спосіб:

.

Умови паралельності й перпендикулярності

прямих у просторі.

Щоб дві прямі були паралельні необхідно й достатньо, щоб напрямні вектори цих прямих були колінеарні, тобто їх відповідні координати були пропорційні.

Щоб дві прямі були перпендикулярні необхідно й достатньо, щоб напрямні вектори цих прямих були перпендикулярні, тобто косинус кута між ними дорівнює нулю.

Кут між прямою й площиною.

Визначення. Кутом між прямою й площиноюназивається будь-який кут між прямою та її проекцією на цю площину.

a

a

j

Нехай площина задана рівнянням , а пряма – . З геометричних міркувань (див. мал.) видно, що шуканий кут a = 90⁰ – j, де a – кут між векторами й . Цей кут може бути знайдений за формулою:

У координатній формі:

Умови паралельності й перпендикулярності

прямої і площині в просторі.

Для того, щоб пряма й площина були паралельні, необхідно й достатньо, щоб вектор нормалі до площини й напрямний вектор прямої були перпендикулярні. Для цього необхідно, щоб їх скалярний добуток був рівний нулю.

Для того, щоб пряма й площина були перпендикулярні, необхідно й достатньо, щоб вектор нормалі до площини й напрямний вектор прямої були колінеарні. Ця умова виконується, якщо векторний добуток цих векторів був дорівнює нулю.

Поверхні другого порядку.

Визначення. Поверхні другого порядку – це поверхні, рівняння яких у прямокутній системі координат є рівняннями другого порядку.

Циліндричні поверхні.

Визначення. Циліндричними поверхнями називаються поверхні, утворені лініями, паралельними до якоїсь фіксованої прямої.

Розглянемо поверхні, у рівнянні яких відсутня складова z, тобто напрямні паралельні осі Оz. Тип лінії на площині хOу (ця лінія називається напрямної поверхні) визначає характер циліндричної поверхні. Розглянемо деякі окремі випадки залежно від рівняння напрямних:

1) - еліптичний циліндр.

2) – гіперболічний циліндр.

3) x² = 2py – параболічний циліндр.

Поверхні обертання.

Визначення. Поверхня, описана деякою лінією, що обертається навколо нерухомої прямої d, називається поверхнею обертанняз віссю обертання d.

Якщо рівняння поверхні в прямокутній системі координат має вигляд: , то ця поверхня – поверхня обертання з віссю обертання Оz. Аналогічно: – поверхня обертання з віссю обертання Оу, – поверхня обертання з віссю обертання Ох.

Запишемо рівняння поверхонь обертання для деяких окремих випадків:

1) - еліпсоїд обертання

2) - однопорожнинний гіперболоїд обертання

3) - двопорожнинний гіперболоїд обертання

4) - параболоїд обертання

Аналогічно можуть бути записані рівняння для розглянутих вище поверхонь обертання, якщо осями обертання є осі Ох або Оу.

Однак, перераховані вище поверхні є всього лише окремими випадками поверхонь другого порядку загального виду, деякі типи яких розглянуті нижче:

Сфера:

Тривісний еліпсоїд:

У перетині еліпсоїда площинами, паралельними координатним площинам, виходять еліпси з різними осями.

Однопорожнинний гіперболоїд:

Двопорожнинний гіперболоїд:

Еліптичний параболоїд:

Гіперболічний параболоїд:

Конус другого порядку:

Циліндрична й сферична системи координат.

Як і на площині, у просторі положення будь-якої точки може бути визначене трьома координатами в різних системах координат, відмінних від декартової прямокутної системи. Циліндрична й сферична системи координат є узагальненням для простору полярної системи координат, що була докладно розглянута вище.

Введемо в просторі точку О и промінь l, що виходить із точки О, а також вектор . Через точку О можна провести єдину площину, перпендикулярну вектору нормалі .

Для введення відповідності між циліндричною, сферичною й декартовою прямокутною системами координат точку О суміщають з початком декартової прямокутної системи координат, промінь l – з позитивним напрямком осі х, вектор нормалі – з віссю z.

Циліндрична й сферична системи координат використовуються в тих випадках, коли рівняння кривій або поверхні в декартовій прямокутній системі координат виглядають досить складно, і операції з таким рівнянням виглядають трудомісткими.

Подання рівнянь у циліндричній і сферичній системі дозволяє значно спростити обчислення, що буде показано далі.

z

М

r

j h

О q x

r

M₁

y

ОМ₁ = r; MM₁ = h;

Якщо з точки М опустити перпендикуляр ММ₁ на площину, то точка М₁ буде мати на площині полярні координати (r, q).

Визначення. Циліндричними координатамиточки М називаються числа (r, q, h), які визначають положення точки М у просторі.

Визначення. Сферичними координатамиточки М називаються числа (r, j, q), де j – кут між r і нормаллю.

Зв'язок між циліндричною та декартовою прямокутною

системами координат.

Аналогічно полярній системі координат на площині можна записати співвідношення, що зв'язують між собою різні системи координат у просторі. Для циліндричної й декартової прямокутної систем ці співвідношення мають вигляд:

Зв'язок сферичної системи координат з

декартовою прямокутної.

У випадку сферичної системи координат співвідношення мають вигляд:

Лінійний (векторний) простір.

Як відомо, лінійні операції (додавання, віднімання, множення на число) визначені по-своєму для кожної множини (числа, багаточлени, направлені відрізки, матриці). Самі операції різні, але їхні властивості однакові.

Ця спільність властивостей дозволяє узагальнити поняття лінійних операцій для будь-яких множин поза залежністю від того, що це за множини (числа, матриці й т.д.).

Для того, щоб дати визначення лінійного (векторного) простору розглянемо деяку множину L дійсних елементів, для яких визначені операції додавання й множення на число.

Ці операції мають властивості:

1. Комутативність + = +
2. Асоціативність ( + ) + = + ( + )
3. Існує такий нульовий вектор , що + = для " Î L
4. Для " Î L існує вектор = – , такий, що + =
5. 1× =
6. a(b ) = (ab)
7. Розподільний закон (a + b) = a + b
8. a( + ) = a + a

Визначення: Множина L називається лінійним (векторним) простором, а його елементи називаються векторами.

Важливо не плутати поняття вектора, наведене вище з поняттям вектора як направленого відрізка на площині або в просторі. Направлені відрізки є всього лише часткою случаємо елементів лінійного (векторного) простору. Лінійний (векторний) простір – поняття ширше. Прикладами таких просторів можуть слугувати множина дійсних чисел, множина векторів на площині й у просторі, матриці й т.і.

Якщо операції додавання й множення на число визначені для дійсних елементів, то лінійний (векторний) простір є дійсним простором, якщо для комплексних елементів – комплексним простором.

Властивості лінійних просторів.

1) У кожному лінійному просторі існує тільки один нульовий елемент.

2) Для кожного елемента існує тільки один протилежний елемент.

3) Для кожного Î L вірно 0× = 0

4) Для кожного і Î L вірно a× =

5) Якщо a× = , те a = 0 або =

6) (–1) = –

Лінійні перетворення.

Визначення: Будемо вважати, що в лінійному просторі L задане деяке лінійне перетворення А, якщо будь-якому елементу Î L за деяким правилом ставиться у відповідність елемент А Î L.

Визначення: Перетворення А називається лінійним, якщо для будь-яких векторів Î L і Î L і кожного a вірно:

A( + ) = A +A

A(a ) = aA

Визначення: Лінійне перетворення називається тотожним, якщо воно перетворить елемент лінійного простору сам у себе.

Е =

Приклад. Чи є А лінійним перетворенням. А = + ; ¹ 0.

Запишемо перетворення А для якогось елемента . А = + . Перевіримо, чи виконується правило операції додавання для цього перетворення А( + ) = + + ; A( ) + A( ) = + + + , що вірно тільки при = 0, тобто дане перетворення А нелінійне.

Визначення: Якщо в просторі L є вектори лінійного перетворення , те інший вектор є лінійною комбінацією векторів .

Визначення: Якщо тільки при a = b = … = l = 0, то вектори називаються лінійно незалежними.

Визначення: Якщо в лінійному просторі L є n лінійно незалежних векторів, але будь-які n+1 векторів лінійно залежні, то простір L називається n-мірним, а сукупність лінійно незалежних векторів називається базисом лінійного простору L.

Наслідок: Будь-який вектор лінійного простору може бути представлений у вигляді лінійної комбінації векторів базису.

Матриці лінійних перетворень.

Нехай в n-мірному лінійному просторі з базисом , ,…, задано лінійне перетворення А. Тоді вектори А , А ,…, А - також вектори цього простору і їх можна представити у вигляді лінійної комбінації векторів базису:

A = a₁₁ + a₂₁ +…+a_n1

A =a₁₂ +a₂₂ +…+a_n2

……………………………….........

A = a_n1 + a_n2 +…+a_nn

Тоді матриця А = називається матрицею лінійного перетворення А.

Якщо в просторі L взяти вектор = x₁ + x₂ +…+x_n , то A Î L.

, де

……………………………......

Ці рівності можна назвати лінійним перетворенням у базисі , ,…, ... У матричному вигляді:

, А× ,

Приклад. Знайти матрицю лінійного перетворення, заданого у вигляді:

A =

На практиці дії над лінійними перетвореннями зводяться до дій над їхніми матрицями.

Визначення: Якщо вектор переводиться у вектор лінійним перетворенням з матрицею А, а вектор у вектор лінійним перетворенням з матрицею В, те послідовне застосування цих перетворень рівносильне лінійному перетворенню, що переводить вектор у вектор (воно називається добутком складових перетворень).

С = В×А

Приклад. Задано лінійне перетворення А, що переводить вектор у вектор і лінійне перетворення В, що переводить вектор у вектор . Знайти матрицю лінійного перетворення, що переводить вектор у вектор .

С = В×А

Тобто

Примітка: Якщо ïАï= 0, то перетворення вироджене, тобто, наприклад, площина перетвориться не в цілу площину, а в пряму.

Власні значення й власні вектори

лінійного перетворення.

Визначення: Нехай L – заданий n-мірний лінійний простір. Ненульовий вектор L називається власним вектором лінійного перетворення А, якщо існує таке число l, що виконується рівність:

.

При цьому число l називається власним значенням (характеристичним числом) лінійного перетворення А, що відповідає вектору .

Визначення: Якщо лінійне перетворення А в деякому базисі , ,…, має матрицю А = , то власні значення лінійного перетворення А можна знайти як корінь l₁, l₂, …, l_n рівняння:

Це рівняння називається характеристичним рівнянням, а його ліва частина – характеристичним багаточленом лінійного перетворення А.

Слід зазначити, що характеристичний багаточлен лінійного перетворення не залежить від вибору базису.

Розглянемо окремий випадок. Нехай А – деяке лінійне перетворення площини, матриця якого дорівнює . Тоді перетворення А може бути задане формулами:

;

у деякому базисі .

Якщо перетворення А має власний вектор із власним значенням l, то .

або

Оскільки власний вектор ненульовий, то х₁ і х₂ не дорівнюють нулю одночасно. Оскільки дана система однорідна, то для того, щоб вона мала нетривіальний розв’язок, визначник системи повинен дорівнювати нулю. У протилежному випадку за правилом Крамера система має єдиний розв’язок – нульовий, що неможливо.

Отримане рівняння є характеристичним рівнянням лінійного перетворення А.

Таким чином, можна знайти власний вектор (х₁, х₂) лінійні перетворення А с власним значенням l, де l – корінь характеристичного рівняння, а х₁ і х₂ – корінь системи рівнянь при підстановці в неї значення l.

Зрозуміло, що якщо характеристичне рівняння не має дійсних коренів, то лінійне перетворення А не має власних векторів.

Слід зазначити, що якщо – власний вектор перетворення А, то й будь-який вектор колінеарний йому – теж власний з тим же самим власним значенням l.

Дійсно, . Якщо врахувати, що вектори мають один початок, то ці вектори утворять так званий власний напрямокабо власну пряму.

Оскільки характеристичне рівняння може мати два різних дійсних корені l₁ і l₂, то в цьому випадку при підстановці їх у систему рівнянь одержимо нескінченну кількість розв’язків. (Оскільки рівняння лінійно залежні). Ця множина розв’язків визначає дві власні прямі.

Якщо характеристичне рівняння має два рівних корені l₁ = l₂ = l, то або є лише одна власна пряма, або при підстановці в систему вона перетворюється в систему виду: . Ця система задовольняється будь-якими значеннями х₁ і х₂. Тоді всі вектори будуть власними, і таке перетворення називається перетворенням подібності.

Приклад. Знайти характеристичні числа й власні вектори лінійного перетворення з матрицею А = .

Запишемо лінійне перетворення у вигляді:

Складемо характеристичне рівняння:

;

Корені характеристичного рівняння: l₁ = 7; l₂ = 1;

Для кореня l₁ = 7:

Із системи виходить залежність: x₁ – 2x₂ = 0. Власні вектори для першого кореня характеристичного рівняння мають координати: (t; 0,5t) де t – параметр.

Для кореня l₂ = 1:

Із системи виходить залежність: x₁ + x₂ = 0. Власні вектори для другого кореня характеристичного рівняння мають координати: (t; –t) де t – параметр.

Отримані власні вектори можна записати у вигляді:

Приклад. Знайти характеристичні числа й власні вектори лінійного перетворення з матрицею А = .

Запишемо лінійне перетворення у вигляді:

Складемо характеристичне рівняння:

;

Корінь характеристичного рівняння: l₁ = l₂ = 2;

Одержуємо:

Із системи виходить залежність: x₁ – x₂ = 0. Власні вектори для першого кореня характеристичного рівняння мають координати: (t; t) де t – параметр.

Власний вектор можна записати: .

Розглянемо інший окремий випадок. Якщо – власний вектор лінійного перетворення А, заданого в тривимірному лінійному просторі, а х₁, х₂, х₃ – компоненти цього вектора в деякому базисі , то

,

де – власне значення (характеристичне число) перетворення А.

Якщо матриця лінійного перетворення А має вигляд:

, то

Характеристичне рівняння:

Розкривши визначник, одержимо кубічне рівняння відносно . Будь-яке кубічне рівняння з дійсними коефіцієнтами має або один, або три дійсних корені.

Тоді будь-яке лінійне перетворення в тривимірному просторі має власні вектори.

Приклад. Знайти характеристичні числа й власні вектори лінійного перетворення А, матриця лінійного перетворення А = .

Складемо характеристичне рівняння:

Власні значення: l₁ = –2; l₂ = 3; l₃ = 6;

1) Для l₁ = –2:

Якщо прийняти х₁ = 1, то Þ х₂ = 0; x₃ = – 1;

Власні вектори:

2) Для l₂ = 3:

Якщо прийняти х₁ = 1, то Þ х₂ = –1; x₃ = 1;

Власні вектори:

3) Для l₃ = 6:

Якщо прийняти х₁ = 1, то Þ х₂ = 2; x₃ = 1;

Власні вектори:

Приклад. Знайти характеристичні числа й власні вектори лінійного перетворення А, матриця лінійного перетворення А = .

Складемо характеристичне рівняння:

l₁ = 0; l₂ = 1; l₃ = –1;

Для l₁ = 0:

Якщо прийняти х₃ = 1, одержуємо х₁ = 0, х₂ = –2

Власні вектори ×t, де t – параметр.

Для самостійного розв’язання: Аналогічно знайти й для l₂ і l₃.

Квадратичні форми.

Визначення: Однорідний багаточлен другого ступеня щодо змінних х₁ і х₂

Ф(х₁, х₂) = а₁₁

не утримуючого вільного члена й невідомих у першому ступені називається квадратичною формою змінних х₁ і х₂.

Визначення: Однорідний багаточлен другого ступеня щодо змінних х₁, х₂ і х₃

не утримуючого вільного члена й невідомих у першому ступені називається квадратичною формою змінних х₁, х₂ і х₃.

Розглянемо квадратичну форму двох змінних. Квадратична форма має симетричну матрицю А = . Визначник цієї матриці називається визначником квадратичної форми.

Нехай на площині заданий ортогональний базис . Кожна точка площини має в цьому базисі координати х₁, х₂.

Якщо задано квадратичну форму Ф(х₁, х₂) = а₁₁, то її можна розглядати як функцію від змінних х₁ і х₂.

Приведення квадратичних форм до канонічного

вигляду.

Розглянемо деяке лінійне перетворення А с матрицею .

Це симетричне перетворення можна записати у вигляді:

y₁ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂

y₂ = a₁₂x₁ + a₂₂x₂

де у₁ і у₂ – координати вектора в базисі .

Очевидно, що квадратична форма може бути записана у вигляді

Ф(х₁, х₂) = х₁у₁ + х₂у₂.

Як видно, геометричний зміст числового значення квадратичної форми Ф у точці з координатами х₁ і х₂ – скалярний добуток .

Якщо взяти інший ортонормований базис на площині, то в ньому квадратична форма Ф буде виглядати інакше, хоча її числове значення в кожній геометричній точці й не зміниться. Якщо знайти такий базис, у якому квадратична форма не буде містити координат у першому ступені, а тільки координати у квадраті, то квадратичну форму можна буде привести до канонічного виду.

Якщо як базис взяти сукупність власних векторів лінійного перетворення, то в цьому базисі матриця лінійного перетворення має вигляд:

.

При переході до нового базису від змінних х₁ і х₂ ми переходимо до змінних й . Тоді:

Тоді .

Вираз називається канонічним виглядом квадратичної форми. Аналогічно можна привести до канонічного виду квадратичну форму з більшим числом змінних.

Теорія квадратичних форм використається для приведення до канонічного вигляду рівнянь кривих і поверхонь другого порядку.

Приклад. Привести до канонічного вигляду квадратичну форму

.

Коефіцієнти: а₁₁ = 27, а₁₂ = 5, а₂₂ = 3.

Складемо характеристичне рівняння: ;

l₁ = 2; l₂ = 28;

Приклад. Привести до канонічного вигляду рівняння другого порядку:

17x² + 12xy + 8y² – 20 = 0.

Коефіцієнти а₁₁ = 17, а₁₂ = 6, а₂₂ = 8. А =

Складемо характеристичне рівняння:

(17 – l)(8 – l) – 36 = 0

136 – 8l – 17l + l² – 36 = 0

l² – 25l + 100 = 0

l₁ = 5, l₂ = 20.

Отже: – канонічне рівняння еліпса.

Приклад. Використовуючи теорію квадратичних форм, привести до канонічного вигляду рівняння лінії другого порядку. Схематично зобразити графік.

Розв’язання: Складемо характеристичне рівняння квадратичної форми : при

Вирішивши це рівняння, одержимо l₁ = 2, l₂ = 6.

Знайдемо координати власних векторів:

приймаючи m₁ = 1, одержимо n₁ =

приймаючи m₂ = 1, одержимо n₂ =

Власні вектори:

Знаходимо координати одиничних векторів нового базису.

Маємо наступне рівняння лінії в новій системі координат:

Канонічне рівняння лінії в новій системі координат буде мати вигляд:

Приклад. Використовуючи теорію квадратичних форм, привести до канонічного вигляду рівняння лінії другого порядку. Схематично зобразити графік.

Розв’язання: Складемо характеристичне рівняння квадратичної форми : при

Вирішивши це рівняння, одержимо l₁ = 1, l₂ = 11.

Знайдемо координати власних векторів:

приймаючи m₁ = 1, одержимо n₁ =

приймаючи m₂ = 1, одержимо n₂ =

Власні вектори:

Знаходимо координати одиничних векторів нового базису.

Маємо наступне рівняння лінії в новій системі координат:

Канонічне рівняння лінії в новій системі координат буде мати вигляд:

Приклад. Використовуючи теорію квадратичних форм, привести до канонічного вигляду рівняння лінії другого порядку. Схематично зобразити графік.

4ху + 3у² + 16 = 0

Коефіцієнти: a₁₁ = 0; a₁₂ = 2; a₂₂ = 3.

Характеристичне рівняння:

Корені: l₁ = –1, l₂ = 4.

Для l₁ = –1 Для l₂ = 4

m₁ = 1; n₁ = –0,5; m₂ = 1; n₂ = 2;

= (1; –0,5) = (1; 2)

Одержуємо: – канонічне рівняння гіперболи.

Вступ до математичного аналізу.

Числова послідовність.

Читайте також:

1. Але відмінні від значення функції в точці або значення не існує, то точка називається точкою усувного розриву функції .
2. Безрозмірною характеристикою гідротрансформатора називається залежність коефіцієнтів пропорційності моментів насосного і турбінного коліс від його передаточного відношення.
3. Взаємодія йонів солі, що утворюються в результаті електролітичної дисоціації з молекулами води, називається гідролізом солі.
4. Визначення.
5. Визначення. Матриці, отримані в результаті елементарного перетворення, називаються еквівалентними.
6. Визначення. Точки максимуму й мінімуму функції називаються точками екстремуму.
7. Визначення. Числа й називаються комплексно спряженими.
8. Визначення. Якщо кожному натуральному числу n поставлено у відповідність число хn, то говорять, що задано послідовність
9. Визначення: Площина, що проходить через дотичну й головну нормаль до кривої в точці А називається дотичною площиною.
10. Вогнегасником називається переносне чи пересувне обладнан­ня для гасіння осередків пожежі за рахунок випуску запасеної вогнегасної речовини.
11. Грошові кошти: їх економічна сутність та визначення.

Переглядів: 1240