• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Визначення. Точки максимуму й мінімуму функції називаються точками екстремуму.

Дослідження функцій за допомогою похідної.

Похідні й диференціали вищих порядків.

Нехай функція f(x) – диференційована на деякому інтервалі. Тоді, диференціюючи її, одержуємо першу похідну

Якщо знайти похідну функції f¢(x), одержимо другу похіднуфункції f(x).

тобто y¢¢ = (y¢)¢ або .

Цей процес можна продовжити й далі, знаходячи похідні ступеня n.

.

Загальні правила знаходження вищих похідних.

Якщо функції u = f(x) і v = g(x) диференційовані, то

1) (Сu)⁽ⁿ⁾ = Cu⁽ⁿ⁾;

2) (u ± v)⁽ⁿ⁾ = u⁽ⁿ⁾ ± v⁽ⁿ⁾;

3)

.

Цей вираз називається формулою Лейбніца.

Також за формулою dⁿy = f⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ може бути знайдений диференціал n-го порядку.

Зростання й спадання функцій.

Теорема. 1) Якщо функція f(x) має похідну на відрізку [a, b] і зростає на цьому відрізку, то її похідна на цьому відрізку ненегативна, тобто .

2) Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a, b] і диференційована на проміжку (а, b), причому f¢(x) > 0 для a < x < b, то ця функція зростає на відрізку [a, b].

Доведення.

1) Якщо функція f(x) зростає, то f(x + Dx) > f(x) при Dx >0 і f(x + Dx) < f(x) при Dx<0,

тоді:

2) Нехай f¢(x)>0 для будь-яких точок х₁ і х₂, що належать відрізку [a, b], причому x₁<x₂.

Тоді за теоремою Лагранжа: f(x₂) – f(x₁) = f¢(e)(x₂ – x₁), x₁ < e < x₂

За умовою f¢(e)>0, отже, f(x₂) – f(x₁) >0, тобто функція f(x) зростає.

Теорему доведено.

Аналогічно можна зробити висновок про те, що якщо функція f(x) спадає на відрізку [a, b], то на цьому відрізку. Якщо у проміжку (a, b), то f(x) спадає на відрізку [a, b].

Звичайно, дане твердження справедливо, якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a, b] і диференційована на інтервалі (a, b).

Доведену вище теорему можна проілюструвати геометрично:

y y

j j j j

x x

Точки екстремуму.

Визначення. Функція f(x) має в точці х₁ максимум, якщо її значення в цій точці більше значень у всіх точках деякого інтервалу, що містить точку х₁. Функція f(x) має в точці х₂ мінімум, якщо f(x₂ +Dx) > f(x₂) при кожному Dх (Dх може бути й від’ємним).

Очевидно, що функція, визначена на відрізку може мати максимум і мінімум тільки в точках, що перебувають усередині цього відрізка. Не можна також плутати максимум і мінімум функції з її найбільшим і найменшим значенням на відрізку – це поняття принципово різні.

Теорема. (необхідна умова існування екстремуму) Якщо функція f(x) диференційована в точці х = х₁ і точка х₁ є точкою екстремуму, то похідна функції обертається в нуль у цій точці.

Доведення. Припустимо, що функція f(x) має в точці х = х₁ максимум.

Тоді при досить малих позитивних Dх > 0 вірна нерівність:

, тобто

Тоді

За визначенням:

Тобто якщо Dх®0, але Dх<0, то , а якщо Dх®0, але Dх>0, то .

А можливо це тільки в тому випадку, якщо при Dх®0 f ¢(x₁) = 0.

Для випадку, якщо функція f(x) має в точці х₂ мінімум теорема доводиться аналогічно.

Теорему доведено.

Наслідок. Зворотне твердження невірно. Якщо похідна функції в деякій точці дорівнює нулю, то це ще не значить, що в цій точці функція має екстремум. Красномовний приклад цього – функція у = х³, похідна якої в точці х = 0 дорівнює нулю, однак у цій точці функція має тільки перегин, а не максимум або мінімум.

Визначення. Критичними точками функції називаються точки, у яких похідна функції не існує або дорівнює нулю.

Розглянута вище теорема дає нам необхідні умови існування екстремуму, але цього недостатньо.

Приклад: f (x) = ôxô Приклад: f (x) =

y y

x

x

В точці х = 0 функція не має ні максимуму, ні мінімуму, ні похідної.

У точці х = 0 функція має мінімум, але не має похідної.

Загалом кажучи, функція f(x) може мати екстремум у точках, де похідна не існує або дорівнює нулю.

Теорема. (Достатні умови існування екстремуму)

Нехай функція f(x) неперервна в інтервалі (a, b), що містить критичну точку х₁, і диференційована у всіх точках цього інтервалу (крім, може бути, самої точки х₁).

Якщо при переході через точку х₁ ліворуч праворуч похідна функції f¢(x) міняє знак з “+” на “–“, то в точці х = х₁ функція f(x) має максимум, а якщо похідна міняє знак з “–“ на “+” – то функція має мінімум.

Доведення.

Нехай

За теоремою Лагранжа: f(x) – f(x₁) = f¢(e)(x – x₁), де x < e < x₁.

Тоді: 1) Якщо х < x₁, то e < x₁; f ¢(e)>0; f ¢(e)(x – x₁) < 0, отже

f(x) – f(x₁)<0 або f(x) < f(x₁).

2) Якщо х > x₁, то при e > x₁ f ¢(e)<0; f ¢(e)(x – x₁)<0, отже

f(x) – f(x₁)<0 або f(x) < f(x₁).

Оскільки відповіді збігаються, то можна сказати, що f(x) < f(x₁) у будь-яких точках поблизу х₁, тобто х₁ – точка максимуму.

Доведення теореми для точки мінімуму проводиться аналогічно.

Теорему доведено.

На основі вищесказаного можна виробити єдиний порядок дій при знаходженні найбільшого й найменшого значення функції на відрізку:

1) Знайти критичні точки функції.

2) Знайти значення функції в критичних точках.

3) Знайти значення функції на кінцях відрізка.

4) Обрати серед отриманих значень найбільше й найменше.

Дослідження функції на екстремум за допомогою похідних вищих порядків.

Нехай у точці х = х₁ f ¢(x₁) = 0 і f ¢¢(x₁) існує й неперервна в деякому околі точки х₁.

Теорема. Якщо f¢(x₁) = 0, то функція f(x) у точці х = х₁ має максимум, якщо f ¢¢(x₁) < 0 і мінімум, якщо f ¢¢(x₁) > 0.

Доведення.

Нехай f ¢(x₁) = 0 і f ¢¢(x₁) < 0. Оскільки функція f(x) неперервна, то f ¢¢(x₁) буде від’ємною й у деякій малому околі точки х₁.

Оскільки f ¢¢(x) = (f ¢(x))¢ < 0, то f ¢(x) спадає на відрізку, що містить точку х₁, але f ¢(x₁)=0, тобто f ¢(x) > 0 при х<x₁ і f ¢(x) < 0 при x > x₁. Це й означає, що при переході через точку х = х₁ похідна f ¢(x) міняє знак з “+” на “–“, тобто в цій точці функція f(x) має максимум.

Для випадку мінімуму функції теорема доводиться аналогічно.

Якщо f¢¢(x) = 0, то характер критичної точки невідомий. Для його визначення потрібне подальше дослідження.

Опуклість і увігнутість кривої.

Точки перегину.

Визначення. Крива звернена опуклістю догори на інтервалі (а, b), якщо всі її точки лежать нижче будь-якої її дотичної на цьому інтервалі. Крива, звернена опуклістю нагору, називається опуклою, а крива, звернена опуклістю вниз – називається увігнутою.

у

x

На малюнку показана ілюстрація наведеного вище визначення.

Теорема 1. Якщо у всіх точках інтервалу (a, b) друга похідна функції f(x) від’ємна, то крива y = f(x) звернена опуклістю нагору (опукла).

Доведення. Нехай х₀ Î (a, b). Проведемо дотичну до кривої в цій точці.

Рівняння кривої: y = f(x);

Рівняння дотичної:

Слід довести, що .

За теоремою Лагранжа для f(x) – f(x₀): , x₀ < c < x.

За теоремою Лагранжа для .

Нехай х > x₀ тоді x₀ < c₁ < c < x. Оскільки x – x₀ > 0 і c – x₀ > 0, і крім того за умовою

, отже, .

Нехай x < x₀ тоді x < c < c₁ < x₀ і x – x₀ < 0, c – x₀ < 0, оскільки за умовою тому .

Аналогічно доводиться, що якщо f ¢¢(x) > 0 на інтервалі (a, b), то крива y = f(x) увігнута на інтервалі (a, b).

Теорему доведено.

Визначення. Точка, що відокремлює опуклу частину кривої від увігнутої, називається точкою перегину.

Очевидно, що в точці перегину дотична перетинає криву.

Теорема 2. Нехай крива визначається рівнянням y = f(x). Якщо друга похідна f¢¢(a) = 0 або f¢¢(a) не існує й при переході через точку х = а f¢¢(x) міняє знак, то точка кривої з абсцисою х = а є точкою перегину.

Доведення. 1) Нехай f ¢¢(x) < 0 при х < a і f ¢¢(x) > 0 при x > a. Тоді при x < a крива опукла, а при x > a крива увігнута, тобто точка х = а – точка перегину.

2) Нехай f ¢¢(x) > 0 при x < b і f ¢¢(x) < 0 при x < b. Тоді при x < b крива звернена опуклістю вниз, а при x > b – опуклістю нагору. Тоді x = b – точка перегину.

Теорему доведено.

Асимптоти.

При дослідженні функцій часто буває, що при видаленні координати х точки кривої в нескінченність крива необмежено наближається до деякої прямої.

Визначення. Пряма називається асимптотоюкривої, якщо відстань від змінної точки кривої до цієї прямої при видаленні точки в нескінченність прямує до нуля.

Слід зазначити, що не будь-яка крива має асимптоту. Асимптоти можуть бути прямі й похилі. Дослідження функцій на наявність асимптот має велике значення й дозволяє більш точно визначити характер функції й поводження графіка кривої.

Загалом кажучи, крива, необмежено наближаючись до своєї асимптоти, може й перетинати її, причому не в одній точці, як показано на наведеному нижче графіку функції . Її похила асимптот y = х.

Розглянемо докладніше методи знаходження асимптот кривих.

Вертикальні асимптоти.

З визначення асимптоти треба, що якщо або або , то пряма х = а – асимптота кривої y = f(x).

Наприклад, для функції пряма х = 5 є вертикальною асимптотою.

Похилі асимптоти.

Припустимо, що крива y = f(x) має похилу асимптоту y = kx + b.

M

j

N

j P

Q

Позначимо точку перетину кривої й перпендикуляра до асимптоти – М, Р – точку перетину цього перпендикуляра з асимптотою. Кут між асимптотою і віссю Ох позначимо j. Перпендикуляр МQ до осі Ох перетинає асимптоту в точці N.

Тоді MQ = y – ордината точки кривої, NQ = – ордината точки N на асимптоті.

За умовою: , ÐNMP = j, .

Кут j – сталий і не рівний 90⁰, тому

Тоді .

Отже, пряма y = kx + b – асимптота кривої. Для точного визначення цієї прямої необхідно знайти спосіб обчислення коефіцієнтів k і b.

В отриманому виразі виносимо за дужки х:

Оскільки х®¥, то , оскільки b = const, то .

Тоді , отже,

.

Оскільки , то , отже,

Відзначимо, що горизонтальні асимптоти є частковим випадком похилих асимптот при k =0.

Приклад. Знайти асимптоти й побудувати графік функції .

1) Вертикальні асимптоти: y ® +¥ x ® 0–0; y ® –¥ x ®0+0, отже, х = 0 – вертикальна асимптота.

2) Похилі асимптоти:

Таким чином, пряма y = х + 2 є похилої асимптотою.

Побудуємо графік функції:

Приклад. Знайти асимптоти й побудувати графік функції .

Прямі х = 3 і х = – 3 є вертикальними асимптотами кривої.

Знайдемо похилі асимптоти:

y = 0 – горизонтальна асимптота.

Приклад. Знайти асимптоти й побудувати графік функції .

Пряма х = – 2 є вертикальною асимптотою кривої.

Знайдемо похилі асимптоти.

Отже, пряма y = х – 4 є похилою асимптотою.

Схема дослідження функцій

Процес дослідження функції складається з декількох етапів. Для найбільш повного подання про поводження функції й характер її графіка необхідно відшукати:

1) Область існування функції.

Це поняття містить у собі й область значень і область визначення функції.

2) Точки розриву. (Якщо вони є).

3) Інтервали зростання й спадання.

4) Точки максимуму й мінімуму.

5) Максимальне й мінімальне значення функції на її області визначення.

6) Області опуклості й увігнутості.

7) Точки перегину.(Якщо вони є).

8) Асимптоти.(Якщо вони є).

9) Побудова графіка.

Застосування цієї схеми розглянемо на прикладі.

Приклад. Дослідити функцію й побудувати її графік.

Знаходимо область існування функції. Очевидно, що областю визначення функції є область (–¥; – 1) È (– 1; 1) È (1; ¥).

У свою чергу, видно, що прямі х = 1, х = – 1 є вертикальними асимптотами кривої.

Областю значень даної функції є інтервал (– ¥; ¥).

Точками розриву функції є точки х = 1, х = – 1.

Знаходимо критичні точки.

Знайдемо похідну функції

Критичні точки: x = 0; x = – ; x = ; x = – 1; x = 1.

Знайдемо другу похідну функції

.

Визначимо опуклість і увігнутість кривої на проміжках.

– ¥ < x < – , y¢¢ < 0, крива опукла

– < x < – 1, y¢¢ < 0, крива опукла

– 1 < x < 0, y¢¢ > 0, крива увігнута

0 < x < 1, y¢¢ < 0, крива опукла

1 < x < , y¢¢ > 0, крива увігнута

< x < ¥, y¢¢ > 0, крива увігнута

Знаходимо проміжки зростання й спадання функції. Для цього визначаємо знаки похідної функції на проміжках.

– ¥ < x < – , y¢ > 0, функція зростає

– < x < –1, y¢ < 0, функція спадає

–1 < x < 0, y¢ < 0, функція спадає

0 < x < 1, y¢ < 0, функція спадає

1 < x < , y¢ < 0, функція спадає

< x < ¥, y¢ > 0, функція зростає

Видно, що точка х = – є точкою максимуму, а точка х = є точкою мінімуму. Значення функції в цих точках рівні відповідно 3/2 і –3/2 .

Про вертикальні асимптоти було вже сказане вище. Тепер знайдемо похилі асимптоти.

Отже, рівняння похилої асимптоти – y = x.

Побудуємо графік функції:

Читайте також:

1. Адвокатура в Україні: основні завдання і функції
2. Алгебраїчний спосіб визначення точки беззбитковості
3. Алгоритм знаходження ДДНФ (ДКНФ) для даної булевої функції
4. Але відмінні від значення функції в точці або значення не існує, то точка називається точкою усувного розриву функції .
5. Аналіз коефіцієнтів цільової функції
6. Аналіз точки беззбитковості
7. АРХІВНІ ДОВІДНИКИ В СИСТЕМІ НДА: ФУНКЦІЇ ТА СТРУКТУРА
8. Асимптоти графіка функції
9. Базальні ядра, їх функції, симптоми ураження
10. Базові функції, логічні функції
11. Банки як провідні суб’єкти фінансового посередництва. Функції банків.
12. Банківська система та її основні функції

Переглядів: 6879