МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
|||||||
Визначення. Точки максимуму й мінімуму функції називаються точками екстремуму.Дослідження функцій за допомогою похідної. Похідні й диференціали вищих порядків. Нехай функція f(x) – диференційована на деякому інтервалі. Тоді, диференціюючи її, одержуємо першу похідну
Якщо знайти похідну функції f¢(x), одержимо другу похіднуфункції f(x).
тобто y¢¢ = (y¢)¢ або .
Цей процес можна продовжити й далі, знаходячи похідні ступеня n. .
Загальні правила знаходження вищих похідних. Якщо функції u = f(x) і v = g(x) диференційовані, то
1) (Сu)(n) = Cu(n); 2) (u ± v)(n) = u(n) ± v(n); 3) . Цей вираз називається формулою Лейбніца.
Також за формулою dny = f(n)(x)dxn може бути знайдений диференціал n-го порядку.
Зростання й спадання функцій. Теорема. 1) Якщо функція f(x) має похідну на відрізку [a, b] і зростає на цьому відрізку, то її похідна на цьому відрізку ненегативна, тобто . 2) Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a, b] і диференційована на проміжку (а, b), причому f¢(x) > 0 для a < x < b, то ця функція зростає на відрізку [a, b].
Доведення. 1) Якщо функція f(x) зростає, то f(x + Dx) > f(x) при Dx >0 і f(x + Dx) < f(x) при Dx<0, тоді:
2) Нехай f¢(x)>0 для будь-яких точок х1 і х2, що належать відрізку [a, b], причому x1<x2.
Тоді за теоремою Лагранжа: f(x2) – f(x1) = f¢(e)(x2 – x1), x1 < e < x2 За умовою f¢(e)>0, отже, f(x2) – f(x1) >0, тобто функція f(x) зростає.
Теорему доведено.
Аналогічно можна зробити висновок про те, що якщо функція f(x) спадає на відрізку [a, b], то на цьому відрізку. Якщо у проміжку (a, b), то f(x) спадає на відрізку [a, b]. Звичайно, дане твердження справедливо, якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a, b] і диференційована на інтервалі (a, b).
Доведену вище теорему можна проілюструвати геометрично:
y y
j j j j x x
Точки екстремуму.
Визначення. Функція f(x) має в точці х1 максимум, якщо її значення в цій точці більше значень у всіх точках деякого інтервалу, що містить точку х1. Функція f(x) має в точці х2 мінімум, якщо f(x2 +Dx) > f(x2) при кожному Dх (Dх може бути й від’ємним).
Очевидно, що функція, визначена на відрізку може мати максимум і мінімум тільки в точках, що перебувають усередині цього відрізка. Не можна також плутати максимум і мінімум функції з її найбільшим і найменшим значенням на відрізку – це поняття принципово різні.
Теорема. (необхідна умова існування екстремуму) Якщо функція f(x) диференційована в точці х = х1 і точка х1 є точкою екстремуму, то похідна функції обертається в нуль у цій точці.
Доведення. Припустимо, що функція f(x) має в точці х = х1 максимум. Тоді при досить малих позитивних Dх > 0 вірна нерівність: , тобто
Тоді
За визначенням:
Тобто якщо Dх®0, але Dх<0, то , а якщо Dх®0, але Dх>0, то .
А можливо це тільки в тому випадку, якщо при Dх®0 f ¢(x1) = 0.
Для випадку, якщо функція f(x) має в точці х2 мінімум теорема доводиться аналогічно. Теорему доведено.
Наслідок. Зворотне твердження невірно. Якщо похідна функції в деякій точці дорівнює нулю, то це ще не значить, що в цій точці функція має екстремум. Красномовний приклад цього – функція у = х3, похідна якої в точці х = 0 дорівнює нулю, однак у цій точці функція має тільки перегин, а не максимум або мінімум.
Визначення. Критичними точками функції називаються точки, у яких похідна функції не існує або дорівнює нулю.
Розглянута вище теорема дає нам необхідні умови існування екстремуму, але цього недостатньо.
Приклад: f (x) = ôxô Приклад: f (x) =
y y
x
x
В точці х = 0 функція не має ні максимуму, ні мінімуму, ні похідної. У точці х = 0 функція має мінімум, але не має похідної.
Загалом кажучи, функція f(x) може мати екстремум у точках, де похідна не існує або дорівнює нулю. Теорема. (Достатні умови існування екстремуму) Нехай функція f(x) неперервна в інтервалі (a, b), що містить критичну точку х1, і диференційована у всіх точках цього інтервалу (крім, може бути, самої точки х1). Якщо при переході через точку х1 ліворуч праворуч похідна функції f¢(x) міняє знак з “+” на “–“, то в точці х = х1 функція f(x) має максимум, а якщо похідна міняє знак з “–“ на “+” – то функція має мінімум.
Доведення.
Нехай
За теоремою Лагранжа: f(x) – f(x1) = f¢(e)(x – x1), де x < e < x1.
Тоді: 1) Якщо х < x1, то e < x1; f ¢(e)>0; f ¢(e)(x – x1) < 0, отже
f(x) – f(x1)<0 або f(x) < f(x1).
2) Якщо х > x1, то при e > x1 f ¢(e)<0; f ¢(e)(x – x1)<0, отже
f(x) – f(x1)<0 або f(x) < f(x1). Оскільки відповіді збігаються, то можна сказати, що f(x) < f(x1) у будь-яких точках поблизу х1, тобто х1 – точка максимуму.
Доведення теореми для точки мінімуму проводиться аналогічно.
Теорему доведено.
На основі вищесказаного можна виробити єдиний порядок дій при знаходженні найбільшого й найменшого значення функції на відрізку:
1) Знайти критичні точки функції. 2) Знайти значення функції в критичних точках. 3) Знайти значення функції на кінцях відрізка. 4) Обрати серед отриманих значень найбільше й найменше.
Дослідження функції на екстремум за допомогою похідних вищих порядків.
Нехай у точці х = х1 f ¢(x1) = 0 і f ¢¢(x1) існує й неперервна в деякому околі точки х1.
Теорема. Якщо f¢(x1) = 0, то функція f(x) у точці х = х1 має максимум, якщо f ¢¢(x1) < 0 і мінімум, якщо f ¢¢(x1) > 0.
Доведення. Нехай f ¢(x1) = 0 і f ¢¢(x1) < 0. Оскільки функція f(x) неперервна, то f ¢¢(x1) буде від’ємною й у деякій малому околі точки х1. Оскільки f ¢¢(x) = (f ¢(x))¢ < 0, то f ¢(x) спадає на відрізку, що містить точку х1, але f ¢(x1)=0, тобто f ¢(x) > 0 при х<x1 і f ¢(x) < 0 при x > x1. Це й означає, що при переході через точку х = х1 похідна f ¢(x) міняє знак з “+” на “–“, тобто в цій точці функція f(x) має максимум. Для випадку мінімуму функції теорема доводиться аналогічно.
Якщо f¢¢(x) = 0, то характер критичної точки невідомий. Для його визначення потрібне подальше дослідження.
Опуклість і увігнутість кривої. Точки перегину.
Визначення. Крива звернена опуклістю догори на інтервалі (а, b), якщо всі її точки лежать нижче будь-якої її дотичної на цьому інтервалі. Крива, звернена опуклістю нагору, називається опуклою, а крива, звернена опуклістю вниз – називається увігнутою.
у
x
На малюнку показана ілюстрація наведеного вище визначення.
Теорема 1. Якщо у всіх точках інтервалу (a, b) друга похідна функції f(x) від’ємна, то крива y = f(x) звернена опуклістю нагору (опукла).
Доведення. Нехай х0 Î (a, b). Проведемо дотичну до кривої в цій точці. Рівняння кривої: y = f(x); Рівняння дотичної: Слід довести, що . За теоремою Лагранжа для f(x) – f(x0): , x0 < c < x.
За теоремою Лагранжа для .
Нехай х > x0 тоді x0 < c1 < c < x. Оскільки x – x0 > 0 і c – x0 > 0, і крім того за умовою , отже, .
Нехай x < x0 тоді x < c < c1 < x0 і x – x0 < 0, c – x0 < 0, оскільки за умовою тому . Аналогічно доводиться, що якщо f ¢¢(x) > 0 на інтервалі (a, b), то крива y = f(x) увігнута на інтервалі (a, b).
Теорему доведено.
Визначення. Точка, що відокремлює опуклу частину кривої від увігнутої, називається точкою перегину.
Очевидно, що в точці перегину дотична перетинає криву.
Теорема 2. Нехай крива визначається рівнянням y = f(x). Якщо друга похідна f¢¢(a) = 0 або f¢¢(a) не існує й при переході через точку х = а f¢¢(x) міняє знак, то точка кривої з абсцисою х = а є точкою перегину.
Доведення. 1) Нехай f ¢¢(x) < 0 при х < a і f ¢¢(x) > 0 при x > a. Тоді при x < a крива опукла, а при x > a крива увігнута, тобто точка х = а – точка перегину.
2) Нехай f ¢¢(x) > 0 при x < b і f ¢¢(x) < 0 при x < b. Тоді при x < b крива звернена опуклістю вниз, а при x > b – опуклістю нагору. Тоді x = b – точка перегину.
Теорему доведено.
Асимптоти. При дослідженні функцій часто буває, що при видаленні координати х точки кривої в нескінченність крива необмежено наближається до деякої прямої.
Визначення. Пряма називається асимптотоюкривої, якщо відстань від змінної точки кривої до цієї прямої при видаленні точки в нескінченність прямує до нуля.
Слід зазначити, що не будь-яка крива має асимптоту. Асимптоти можуть бути прямі й похилі. Дослідження функцій на наявність асимптот має велике значення й дозволяє більш точно визначити характер функції й поводження графіка кривої.
Загалом кажучи, крива, необмежено наближаючись до своєї асимптоти, може й перетинати її, причому не в одній точці, як показано на наведеному нижче графіку функції . Її похила асимптот y = х.
Розглянемо докладніше методи знаходження асимптот кривих.
Вертикальні асимптоти.
З визначення асимптоти треба, що якщо або або , то пряма х = а – асимптота кривої y = f(x).
Наприклад, для функції пряма х = 5 є вертикальною асимптотою.
Похилі асимптоти.
Припустимо, що крива y = f(x) має похилу асимптоту y = kx + b.
M
j N j P
Q Позначимо точку перетину кривої й перпендикуляра до асимптоти – М, Р – точку перетину цього перпендикуляра з асимптотою. Кут між асимптотою і віссю Ох позначимо j. Перпендикуляр МQ до осі Ох перетинає асимптоту в точці N.
Тоді MQ = y – ордината точки кривої, NQ = – ордината точки N на асимптоті. За умовою: , ÐNMP = j, . Кут j – сталий і не рівний 900, тому
Тоді .
Отже, пряма y = kx + b – асимптота кривої. Для точного визначення цієї прямої необхідно знайти спосіб обчислення коефіцієнтів k і b. В отриманому виразі виносимо за дужки х:
Оскільки х®¥, то , оскільки b = const, то . Тоді , отже,
.
Оскільки , то , отже,
Відзначимо, що горизонтальні асимптоти є частковим випадком похилих асимптот при k =0.
Приклад. Знайти асимптоти й побудувати графік функції . 1) Вертикальні асимптоти: y ® +¥ x ® 0–0; y ® –¥ x ®0+0, отже, х = 0 – вертикальна асимптота.
2) Похилі асимптоти:
Таким чином, пряма y = х + 2 є похилої асимптотою. Побудуємо графік функції:
Приклад. Знайти асимптоти й побудувати графік функції .
Прямі х = 3 і х = – 3 є вертикальними асимптотами кривої.
Знайдемо похилі асимптоти:
y = 0 – горизонтальна асимптота.
Приклад. Знайти асимптоти й побудувати графік функції .
Пряма х = – 2 є вертикальною асимптотою кривої. Знайдемо похилі асимптоти.
Отже, пряма y = х – 4 є похилою асимптотою.
Схема дослідження функцій Процес дослідження функції складається з декількох етапів. Для найбільш повного подання про поводження функції й характер її графіка необхідно відшукати:
1) Область існування функції. Це поняття містить у собі й область значень і область визначення функції. 2) Точки розриву. (Якщо вони є). 3) Інтервали зростання й спадання. 4) Точки максимуму й мінімуму. 5) Максимальне й мінімальне значення функції на її області визначення. 6) Області опуклості й увігнутості. 7) Точки перегину.(Якщо вони є). 8) Асимптоти.(Якщо вони є). 9) Побудова графіка.
Застосування цієї схеми розглянемо на прикладі.
Приклад. Дослідити функцію й побудувати її графік.
Знаходимо область існування функції. Очевидно, що областю визначення функції є область (–¥; – 1) È (– 1; 1) È (1; ¥). У свою чергу, видно, що прямі х = 1, х = – 1 є вертикальними асимптотами кривої. Областю значень даної функції є інтервал (– ¥; ¥). Точками розриву функції є точки х = 1, х = – 1. Знаходимо критичні точки. Знайдемо похідну функції
Критичні точки: x = 0; x = – ; x = ; x = – 1; x = 1.
Знайдемо другу похідну функції
.
Визначимо опуклість і увігнутість кривої на проміжках.
– ¥ < x < – , y¢¢ < 0, крива опукла – < x < – 1, y¢¢ < 0, крива опукла – 1 < x < 0, y¢¢ > 0, крива увігнута 0 < x < 1, y¢¢ < 0, крива опукла 1 < x < , y¢¢ > 0, крива увігнута < x < ¥, y¢¢ > 0, крива увігнута
Знаходимо проміжки зростання й спадання функції. Для цього визначаємо знаки похідної функції на проміжках.
– ¥ < x < – , y¢ > 0, функція зростає – < x < –1, y¢ < 0, функція спадає –1 < x < 0, y¢ < 0, функція спадає 0 < x < 1, y¢ < 0, функція спадає 1 < x < , y¢ < 0, функція спадає < x < ¥, y¢ > 0, функція зростає
Видно, що точка х = – є точкою максимуму, а точка х = є точкою мінімуму. Значення функції в цих точках рівні відповідно 3/2 і –3/2 .
Про вертикальні асимптоти було вже сказане вище. Тепер знайдемо похилі асимптоти.
Отже, рівняння похилої асимптоти – y = x.
Побудуємо графік функції:
Читайте також:
|
||||||||
|