• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Розкриття невизначеностей.

Визначення. Вираз називається формулою Лагранжаабо формулою скінчених приростів.

Надалі ця формула буде дуже часто застосовуватися для доведення найрізноманітніших теорем.

Іноді формулу Лагранжа записують у трохи іншому вигляді:

,

де 0 < q < 1, Dx = b – a, Dy = f(b) – f(a).

Теорема Коші.

(Коші (1789–1857) – французький математик)

Якщо функції f(x) і g(x) неперервні на відрізку [a, b] і диференційовані на інтервалі (a, b) і g¢(x)¹ 0 на інтервалі (a, b), то існує принаймні одна точка e, a < e < b, така, що

.

Тобто відношення приростів функцій на даному відрізку дорівнює відношенню похідних у точці e.

Для доведення цієї теореми на перший погляд дуже зручно скористатися теоремою Лагранжа. Записати формулу скінченних різниць для кожної функції, а потім розділити їхній одну на одну. Однак, це враження помилкове, тому що точка e для кожної з функцій в загальному випадку різна. Звичайно, у деяких окремих випадках ця точка інтервалу може виявитися однаковою для обох функцій, але це – дуже рідкий збіг, а не правило, тому не може бути використаний для доведення теореми.

Доведення. Розглянемо допоміжну функцію

,

яка на інтервалі [a, b] задовольняє умовам теореми Ролля. Легко бачити, що при х = а й х = b F(a) = F(b) = 0. Тоді за теоремою Ролля існує така точка e, a < e < b, така, що F¢(e) = 0. Оскільки

, то

А оскільки , то

Теорему доведено.

Слід зазначити, що розглянута вище теорема Лагранжа є частковим випадком (при g(x) = x) теореми Коші. Доведена нами теорема Коші дуже широко використається для розкриття так званих невизначеностей. Застосування отриманих результатів дозволяє істотно спростити процес обчислення границь функцій, що буде докладно розглянуто нижче.

Правило Лопіталя.

(Лопіталь (1661–1704) – французький математик)

До розряду невизначеностей прийнято відносити наступні співвідношення:

Теорема (правило Лопіталя). Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані поблизу точки а, неперервні в точці а, g¢(x) відмінна від нуля поблизу а й f(a) = g(a) = 0, то границя частки функцій при дорівнює границі частки їхніх похідних, якщо ця границя (скінченна або нескінченна) існує.

Доведення. Застосувавши формулу Коші, одержимо:

де e – точка, що перебуває між а й х. З огляду на що f(a) = g(a) = 0:

Нехай при х®а відношення прямує до деякої границі. Оскільки точка e лежить між точками а й х, то при х ® а одержимо e ® а, а отже й відношення прямує до того ж границі. Таким чином, можна записати:

.

Теорему доведено.

Приклад: Знайти границю .

Як видно, при спробі безпосереднього обчислення границі виходить невизначеність виду . Функції, що входять у чисельник і знаменник дробу задовольняють вимогам теореми Лопіталя.

f¢(x) = 2x + ; g¢(x) = e^x;

;

Приклад: Знайти границю .

; ;

.

Якщо при розв’язанні приклада після застосування правила Лопіталя спроба обчислити границю знову приводить до невизначеності, то правило Лопіталя може бути застосовано другий раз, третій і т.д. поки не буде отриманий результат. Природно, це можливо тільки в тому випадку, якщо знову отримані функції у свою чергу задовольняють вимогам теореми Лопіталя.

Приклад: Знайти границю .

; ;

; ;

; ;

Слід зазначити, що правило Лопіталя – всього лише один зі способів обчислення границь. Часто в конкретному прикладі поряд із правилом Лопіталя може бути використаний і якийсь інший метод (заміна змінних, домноження та ін.).

Приклад: Знайти границю .

; ;

– знову вийшла невизначеність. Застосуємо правило Лопіталя ще раз.

; ;

– застосовуємо правило Лопіталя ще раз.

; ;

;

Невизначеності вигляду можна розкрити за допомогою логарифмування. Такі невизначеності зустрічаються при знаходженні меж функцій вигляду , f(x)>0 поблизу точки а при х®а. Для знаходження границі такої функції досить знайти границю функції ln y = g(x) ln f(x).

Приклад: Знайти границю .

Тут y = x^x, ln y = x ln x.

Тоді . Отже

Приклад: Знайти границю .

; – одержали невизначеність. Застосовуємо правило Лопіталя ще раз.

; ;

Читайте також:

1. Виховна мета:сприяти формуванню професійних якостей спеціаліста правоохоронної сфери діяльності з розкриття та розслідування злочинів.
2. Виявлення та розкриття легалізації (відмивання) доходів, одержаних злочинним шляхом
3. Вторине розкриття продуктивного пласта перфорацією
4. Геохімія – ключ до розкриття геологічних процесів.
5. ІV Розкриття інформації та прозорість
6. Комбінований спосіб розкриття.
7. Метод – це спосіб за допомогою якого можна отримати наукові факти, зафіксувати їх, проаналізувати, але завжди це той самий спосіб, який веде до розкриття закономірностей.
8. Обсяги розкриття при детальному обстеженні перекриттів
9. Особливості змалювання головних персонажів та розкриття проблематики твору
10. Особливості розкриття інформації, що містить банківську таємницю, Національному банку
11. Порядок та межі розкриття банками інформації, що містить банківську таємницю
12. Правове регулювання банківської таємниці. Порядок її розкриття

Переглядів: 1200