• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Визначення: Площина, що проходить через дотичну й головну нормаль до кривої в точці А називається дотичною площиною.

Про формули Френе.

Визначення: Вектор називається вектором кривизни. Величина називається радіусом кривизни.

Кривизна просторової кривої.

Властивості еволюти.

Теорема 1: Нормаль до даної кривої є дотичною до її еволюти.

Теорема 2: Модуль різниці радіусів кривизни в будь-яких точках кривої дорівнює модулю довжини відповідної еволюти.

C₃

C₂

C₁

R₁ R₂ R₃

M₁

M’₁ M₂ M₃

M’₂

M’₃

Треба відзначити, що будь-якій еволюті відповідає нескінченне число евольвент.

Зазначені вище властивості можна проілюструвати в такий спосіб: якщо на еволюту натягнута нитка, то евольвента є траєкторною лінією кінця нитки при її змотуванні або розмотуванні за умови, що нитка перебуває в натягнутому стані.

Приклад: Знайти рівняння еволюти кривою, заданої рівняннями:

Рівняння еволюти:

Остаточно: – це рівняння кола із центром на початку координат радіуса а.

Вихідна крива виходить свого роду розгорненням кола.

Нижче наведені графіки вихідної кривої і її еволюти.

z

A(x, y, z)

B

O y

x

Для довільної точки А, що перебуває на просторовій кривій, координати можуть бути визначені як функції деякої довжини дуги S.

x = j (S); y = y (S); z = f (S);

Наведене вище рівняння називають векторним рівнянням лінії в просторі.

Визначення: Лінія, що опише в просторі змінний радіус-вектор при зміні параметра S, називається годографом цього вектора.

, тоді – вектор, спрямований по дотичній до кривої в точці А(x, y, z).

Але оскільки , то – одиничний вектор, спрямований по дотичній.

Якщо прийняти , то .

Причому .

Розглянемо другу похідну

Визначення: Пряма з напрямком, що співпадає з напрямком вектора називається головною нормаллю до кривої. Її одиничний вектор позначається .

, де K – кривизна кривої.

Кривизна просторової кривої може бути знайдена за формулою:

Можливий й інший запис формули для кривизни просторової кривої (вона виходить із наведеної вище формули):

Формулами Френе називаються співвідношення:

Остання формула отримана із двох перших.

У цих формулах:

– одиничний вектор головної нормалі до кривої,

– одиничний вектор бінормалі,

R – радіус кривизни кривої ,

Т – радіус кручення кривої.

Визначення: Нормаль до кривої, перпендикулярна до дотичної площини, називається бінормаллю.Її одиничний вектор – .

Величина називається крученням кривої.

Нижче розглянемо кілька прикладів дослідження методами диференціального числення різних типів функцій.

Приклад: Методами диференціального числення дослідити функцію й побудувати її графік.

1. Областю визначення даної функції є всі дійсні числа (-¥; ¥).

2. Функція є функцією загального виду в сенсі парності й непарності.

3. точки перетину з координатними осями: з віссю Оу: x = 0; y = 1;

з віссю Ох: y = 0; x = 1;

4. Точки розриву й асимптоти: Вертикальних асимптот немає.

Похилі асимптоти: загальне рівняння y = kx + b;

Отже: y = – х – похила асимптота.

5. Зростання й спадання функції, точки екстремуму.

. Видно, що y¢< 0 при будь-якому х ¹ 0, отже, функція спадає на всій області визначення й не має екстремумів. У точці х = 0 перша похідна функції дорівнює нулю, однак у цій точці спадання не змінюється на зростання, отже, у точці х = 0 функція швидше за все має перегин. Для знаходження точок перегину, знаходимо другу похідну функції.

; y¢¢ = 0 при х =0 і y¢¢ = ¥ при х = 1.

Точки (0,1) і (1,0) є точками перегину, тому що y¢¢(1 – h) < 0; y¢¢(1 + h) >0; y¢¢(– h) > 0; y¢¢(h) < 0 для будь-якого h > 0.

6. Побудуємо графік функції.

Приклад: Дослідити функцію й побудувати її графік.

1. Областю визначення функції є всі значення х, крім х = 0.

2. Функція є функцією загального виду в сенсі парності й непарності.

3. Точки перетину з координатними осями: c віссю Ох: y = 0; x =

с віссю Оу: x = 0; y – не існує.

4. Точка х = 0 є точкою розриву , отже, пряма х = 0 є вертикальної асимптотою.

Похилі асимптоти шукаємо у вигляді: y = kx + b.

Похила асимптот y = х.

5. Знаходимо точки екстремуму функції.

; y¢ = 0 при х = 2, y¢ = ¥ при х = 0.

y¢ > 0 при х Î (– ¥, 0) – функція зростає,

y¢ < 0 при х Î (0, 2) – функція спадає,

у¢ > 0 при х Î (2, ¥) – функція зростає.

Таким чином, точка (2, 3) є точкою мінімуму.

Для визначення характеру опуклості/увігнутості функції знаходимо другу похідну.

> 0 при будь-якому х ¹ 0, отже, функція увігнута на всій області визначення.

6. Побудуємо графік функції.

Приклад: Досліджувати функцію й побудувати її графік.

1. Областю визначення даної функції є проміжок х Î (– ¥, ¥).

2. У сенсі парності й непарності функція є функцією загального виду.

3. Точки перетину з осями координат: з віссю Оу: x = 0, y = 0;

з віссю Ох: y = 0, x = 0, x = 1.

4. Асимптоти кривої.

Вертикальних асимптот немає.

Спробуємо знайти похилі асимптоти у вигляді y = kx + b.

– похилих асимптот не існує.

5. Знаходимо точки екстремуму.

Для знаходження критичних точок слід розв’язати рівняння 4х³ – 9х² +6х –1 = 0.

Для цього розкладемо даний багаточлен третього ступеня на множники.

Підбором можна визначити, що одним з коренів цього рівняння є число х = 1. Тоді:

4x³ – 9x² + 6x – 1 x – 1

4x³ – 4x² 4x² – 5x + 1

– 5x² + 6x

– 5x² + 5x

x – 1

x – 1

Тоді можна записати (х – 1)(4х² – 5х + 1) = 0. Остаточно одержуємо дві критичні точки: x = 1 і x = 1/4.

Примітка. Операції ділення багаточленів можна було уникнути, якщо при знаходженні похідної скористатися формулою похідної добутку:

Знайдемо другу похідну функції: 12x² – 18x + 6. Прирівнюючи до нуля, знаходимо:

x = 1, x = 1/2.

Систематизуємо отриману інформацію в таблиці:

6. Побудуємо графік функції.

Інтегральне числення.

Читайте також:

1. Акустичний контроль приміщень через засоби телефонного зв'язку
2. Але відмінні від значення функції в точці або значення не існує, то точка називається точкою усувного розриву функції .
3. Аналіз ризику через моделювання.
4. Асимптотична нормальність й ЦПТ
5. Безрозмірною характеристикою гідротрансформатора називається залежність коефіцієнтів пропорційності моментів насосного і турбінного коліс від його передаточного відношення.
6. Бізнес через Internet
7. Біоелектричні явища в тканинах: будова мембран клітини, транспорт речовин через мембрану, потенціал дії та його розповсюдження.
8. Будинків іспоруді забезпечення нормальних умов їх будівництва й експлуатації
9. В чому полягає явище тунелювання через потенціальний бар’єр, наведіть приклади.
10. В. Розрахунки через Інтернет
11. Вади розвитку – це порушення внутрішньоутробного розвитку, відхилення від нормальної будови організму. Найлегші ступені вад розвитку називають аномаліями, найважчі – потворністю.
12. Ввезення громадянами транспортних засобів із метою транзиту через територію України

Переглядів: 1337