• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Елементарні перетворення матриці.

Визначення. Елементарними перетвореннями матриці назвемо наступні перетворення:

1) множення рядка на число, відмінне від нуля;

2) додавання до елементів одного рядка елементів іншого рядка;

3) перестановка рядків;

4) викреслювання (видалення) одного з однакових рядків (стовпців);

5) транспонування;

Ті ж операції, застосовані до стовпців, також називаються елементарними перетвореннями.

За допомогою елементарних перетворень можна до якого-небудь рядка або стовпця додати лінійну комбінацію інших рядків ( стовпців ).

Мінори.

Вище було використане поняття додаткового мінора матриці. Дамо визначення мінора матриці.

Визначення. Якщо в матриці А видалити кілька довільних рядків і стільки ж довільних стовпців, то матриця, складена з елементів, розташованих на перетині цих рядків і стовпців називається міноромматриці А. Якщо виділено s рядків і стовпців, то отриманий мінор називається мінором порядку s.

Відмітимо, що вищесказане застосовне не тільки до квадратних матриць, але й до прямокутних.

Якщо викреслити з вихідної квадратної матриці А виділені рядки й стовпці, то отримана матриця буде додатковим мінором.

Алгебраїчні доповнення.

Визначення. Алгебраїчним доповненням мінора матриці називається визначник його додаткового мінора, помножений на (–1) у степені, рівному сумі номера рядка і номера стовпця мінора матриці.

В окремому випадку, алгебраїчним доповненням елемента матриці називається його додатковий мінор, узятий зі своїм знаком, якщо сума номерів стовпця й рядка, на яких стоїть елемент, є число парне і з протилежним знаком, якщо непарне.

Теорема Лапласа. Якщо обрано s рядків матриці з номерами i₁, … ,i_s, то визначник цієї матриці дорівнює сумі добутків всіх елементів, розташованих в обраних рядках на їхні алгебраїчні доповнення.

Обернена матриця.

Визначимо операцію ділення матриць як операцію, обернену множенню.

Визначення.Якщо існують квадратні матриці Х и А одного порядку, що задовольняють умові:

XA = AX = E,

де Е - одинична матриця того ж самого порядку, що й матриця А, те матриця Х називається оберненоюдо матриці А и позначається А^–1.

Кожна квадратна матриця з визначником, не рівним нулю має обернену матрицю й притім тільки одну.

Розглянемо загальний підхід до знаходження оберненої матриці. Виходячи з визначення добутку матриць, можна записати:

AX = E Þ , i=( 1, n ), j=( 1, n ),

e_ij = 0, i ¹ j,

e_ij = 1, i = j .

Таким чином, одержуємо систему рівнянь:

,

Вирішивши цю систему, знаходимо елементи матриці Х.

Приклад. Дано матрицю А = , знайти А^–1.

Таким чином, А^–1= .

Однак, такий спосіб незручний при знаходженні обернених матриць більших порядків, тому звичайно застосовують наступну формулу:

,

де A_ji – алгебраїчне доповнення елемента а_ji матриці А.

Приклад. Дано матрицю А = , знайти А^–1.

det A = 4 – 6 = – 2.

M₁₁=4; M₁₂= 3; M₂₁= 2; M₂₂=1

x₁₁= – 2; x₁₂= 1; x₂₁= 3/2; x₂₂= – 1/2

Таким чином, А^–1= .

Властивості обернених матриць.

Вкажемо наступні властивості обернених матриць:

1) (A^–1)^–1 = A;

2) (AB)^–1 = B^–1A^–1

3) (A^T)^–1 = (A^–1)^T.

Приклад. Дано матрицю А = , знайти А³.

А² = АА = = ; A³ = = .

Відзначимо, що матриці і є комутуючими.

Приклад. Обчислити визначник .

= – 1

= – 1(6 – 4) – 1(9 – 1) + 2(12 – 2) = – 2 – 8 + 20 = 10.

= = 2(0 – 2) – 1(0 – 6) = 2.

= = 2(–4) – 3(–6) = –8 + 18 = 10.

Значення визначника: – 10 + 6 – 40 = – 44.

Базовий мінор матриці.

Ранг матриці.

Як було сказано вище, мінором матриці порядку s називається матриця, утворена з елементів вихідної матриці, що перебувають на перетині яких-небудь обраних s рядків і s стовпців.

Визначення. У матриці порядку m´n мінор порядку r називається базовим, якщо його визначник не дорівнює нулю, а всі мінори порядку r+1 і вище дорівнюють нулю, або не існують зовсім, тобто r збігається з меншим із чисел m або n.

Стовпці й рядки матриці, на яких стоїть базовий мінор, також називаються базовими.

У матриці може бути кілька різних базових мінорів, що мають однаковий порядок.

Визначення. Порядок базового мінору матриці називається рангомматриці й позначається Rank А.

Дуже важливою властивістю елементарних перетворень матриць є те, що вони не змінюють ранг матриці.

Читайте також:

1. Адаптивні хвилькові перетворення : Хвилькові пакети.
2. Визначення перетворення за Лапласом
3. Визначення. Матриці, отримані в результаті елементарного перетворення, називаються еквівалентними.
4. Визначте соціальні перетворення в процесі радянізації українського суспільства.
5. Виконаємо лінійне перетворення
6. Вимірювальні сигнали, перетворення вимірювальних сигналів, форми вимірювальної інформації
7. Вирішення проблеми не міститься в існуючому знанні та не може бути отримане шляхом перетворення наявної наукової інформації.
8. Вирішення проблеми не міститься в існуючому знанні та не може бути отримане шляхом перетворення наявної наукової інформації.
9. Властивості зворотного перетворення за Лапласом
10. Властивості оберненої матриці.
11. Властивості прямого перетворення за Лапласом
12. Вплив легуючих елементів на перетворення в сталі

Переглядів: 4506