МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
|||||||
Елементарні перетворення матриці.
Визначення. Елементарними перетвореннями матриці назвемо наступні перетворення:
1) множення рядка на число, відмінне від нуля; 2) додавання до елементів одного рядка елементів іншого рядка; 3) перестановка рядків; 4) викреслювання (видалення) одного з однакових рядків (стовпців); 5) транспонування;
Ті ж операції, застосовані до стовпців, також називаються елементарними перетвореннями. За допомогою елементарних перетворень можна до якого-небудь рядка або стовпця додати лінійну комбінацію інших рядків ( стовпців ).
Мінори.
Вище було використане поняття додаткового мінора матриці. Дамо визначення мінора матриці.
Визначення. Якщо в матриці А видалити кілька довільних рядків і стільки ж довільних стовпців, то матриця, складена з елементів, розташованих на перетині цих рядків і стовпців називається міноромматриці А. Якщо виділено s рядків і стовпців, то отриманий мінор називається мінором порядку s.
Відмітимо, що вищесказане застосовне не тільки до квадратних матриць, але й до прямокутних. Якщо викреслити з вихідної квадратної матриці А виділені рядки й стовпці, то отримана матриця буде додатковим мінором.
Алгебраїчні доповнення.
Визначення. Алгебраїчним доповненням мінора матриці називається визначник його додаткового мінора, помножений на (–1) у степені, рівному сумі номера рядка і номера стовпця мінора матриці. В окремому випадку, алгебраїчним доповненням елемента матриці називається його додатковий мінор, узятий зі своїм знаком, якщо сума номерів стовпця й рядка, на яких стоїть елемент, є число парне і з протилежним знаком, якщо непарне.
Теорема Лапласа. Якщо обрано s рядків матриці з номерами i1, … ,is, то визначник цієї матриці дорівнює сумі добутків всіх елементів, розташованих в обраних рядках на їхні алгебраїчні доповнення. Обернена матриця.
Визначимо операцію ділення матриць як операцію, обернену множенню.
Визначення.Якщо існують квадратні матриці Х и А одного порядку, що задовольняють умові: XA = AX = E, де Е - одинична матриця того ж самого порядку, що й матриця А, те матриця Х називається оберненоюдо матриці А и позначається А–1.
Кожна квадратна матриця з визначником, не рівним нулю має обернену матрицю й притім тільки одну. Розглянемо загальний підхід до знаходження оберненої матриці. Виходячи з визначення добутку матриць, можна записати: AX = E Þ , i=( 1, n ), j=( 1, n ), eij = 0, i ¹ j, eij = 1, i = j . Таким чином, одержуємо систему рівнянь: , Вирішивши цю систему, знаходимо елементи матриці Х.
Приклад. Дано матрицю А = , знайти А–1.
Таким чином, А–1= .
Однак, такий спосіб незручний при знаходженні обернених матриць більших порядків, тому звичайно застосовують наступну формулу:
,
де Aji – алгебраїчне доповнення елемента аji матриці А.
Приклад. Дано матрицю А = , знайти А–1. det A = 4 – 6 = – 2.
M11=4; M12= 3; M21= 2; M22=1 x11= – 2; x12= 1; x21= 3/2; x22= – 1/2 Таким чином, А–1= .
Властивості обернених матриць. Вкажемо наступні властивості обернених матриць:
1) (A–1)–1 = A;
2) (AB)–1 = B–1A–1
3) (AT)–1 = (A–1)T.
Приклад. Дано матрицю А = , знайти А3. А2 = АА = = ; A3 = = .
Відзначимо, що матриці і є комутуючими.
Приклад. Обчислити визначник .
= – 1
= – 1(6 – 4) – 1(9 – 1) + 2(12 – 2) = – 2 – 8 + 20 = 10.
= = 2(0 – 2) – 1(0 – 6) = 2.
= = 2(–4) – 3(–6) = –8 + 18 = 10. Значення визначника: – 10 + 6 – 40 = – 44.
Базовий мінор матриці. Ранг матриці.
Як було сказано вище, мінором матриці порядку s називається матриця, утворена з елементів вихідної матриці, що перебувають на перетині яких-небудь обраних s рядків і s стовпців.
Визначення. У матриці порядку m´n мінор порядку r називається базовим, якщо його визначник не дорівнює нулю, а всі мінори порядку r+1 і вище дорівнюють нулю, або не існують зовсім, тобто r збігається з меншим із чисел m або n. Стовпці й рядки матриці, на яких стоїть базовий мінор, також називаються базовими.
У матриці може бути кілька різних базових мінорів, що мають однаковий порядок.
Визначення. Порядок базового мінору матриці називається рангомматриці й позначається Rank А. Дуже важливою властивістю елементарних перетворень матриць є те, що вони не змінюють ранг матриці.
Читайте також:
|
||||||||
|