Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Градієнт.

Похідна за напрямком.

 

Розглянемо функцію u(x, y, z) у точці М( x, y, z) і точці М1(x + Dx, y + Dy, z + Dz).

Проведемо через точки М та М1 вектор . Кути нахилу цього вектора до напрямку координатних осей х, y, z позначимо відповідно a, b, g. Косинуси цих кутів називаються напрямними косинусамивектора .

Відстань між точками М та М1 на векторі позначимо DS.

 

 

 

Висловлені вище припущення, проілюструємо на малюнку:

 


z

M

 

 

 

 

M1

 

 

y

 

x

 

Далі припустимо, що функція u(x, y, z) неперервна й має неперервні частинні похідні по змінним х, у і z. Тоді правомірно записати наступний вираз:

 

,

 

де величини e1, e2, e3 – нескінченно малі при .

З геометричних міркувань очевидно:

 

 

 

Таким чином, наведені вище рівності можуть бути представлені в такий спосіб:

 

;

 

 

 

Відзначимо, що величина s є скалярною. Вона лише визначає напрямок вектора .

Із цього рівняння випливає таке визначення:

 

Визначення: Границя називається похідною функції u(x, y, z) за напрямком векторав точці з координатами (x, y, z).

 

Пояснимо значення викладених вище рівностей на прикладі.

 

Приклад. Обчислити похідну функції z = x2 + y2x у точці А(1, 2) за напрямком вектора . В (3, 0).

 

Розв’язання. Насамперед необхідно визначити координати вектора .

=(3 – 1; 0 – 2) = (2; – 2) = 2 .

Далі визначаємо модуль цього вектора:

 

=

Знаходимо частинні похідні функції z у загальному вигляді:

 

 

Значення цих величин у точці А:

 

Для знаходження напрямних косинусів вектора робимо наступні перетворення:

=

За величину приймається довільний вектор, спрямований уздовж заданого вектора, тобто визначальний напрямок диференціювання.

Звідси одержуємо значення напрямних косинусів вектора :

cos a = ; cos b = –

 

Остаточно одержуємо: – значення похідної заданої функції за напрямком вектора .

 

 

Визначення: Якщо в деякій області D задана функція u = u (x, y, z) і деякий вектор, проекції якого на координатні осі дорівнюють значенням функції u у відповідній точці

,

те цей вектор називається градієнтомфункції u.

 

 

 

При цьому говорять, що в області D задане поле градієнтів.

 

Зв'язок градієнта з похідною за напрямком.

 

Теорема: Нехай задана функція u = u(x, y, z) і поле градієнтів

.

Тоді похідна за напрямком деякого вектора рівна проекції вектора grad u на вектор .

 

Доведення: Розглянемо одиничний вектор і деяку функцію u = u (x, y, z) і знайдемо скалярний добуток векторів і grad u.

 

Вираз, що стоїть в правій частині цієї рівності є похідною функції u за напрямком s.

Тобто . Якщо кут між векторами grad u і позначити через j, той скалярний добуток можна записати у вигляді добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними. З врахуванням того, що вектор одиничний, тобто його модуль дорівнює одиниці, можна записати:

 

Вираз, що стоїть в правій частині цієї рівності і є проекцією вектораgrad u на вектор .

 

Теорему доведено.

 

Для ілюстрації геометричного й фізичного змісту градієнта скажемо, що градієнт – вектор, що показує напрямок найшвидшої зміни деякого скалярного поля u у якійсь точці. У фізиці існують такі поняття як градієнт температури, градієнт тиску й т.п. Тобто напрямок градієнта є напрямком найбільш швидкого росту функції.

З погляду геометричного подання градієнт перпендикулярний поверхні рівня функції.

 

Кратні інтеграли.

Як відомо, інтегрування є процесом підсумовування. Однак підсумовування може проводитися неодноразово, що приводить нас до поняття кратних інтегралів. Розгляд цього питання почнемо з розгляду подвійних інтегралів.

 




Переглядів: 1464

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Умовний екстремум. | Подвійні інтеграли.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

  

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.045 сек.