• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Подвійні інтеграли.

Розглянемо на площині деяку замкнуту криву, рівняння якої f (x, y) = 0.

y

0 x

Сукупність всіх точок, що лежать усередині кривої і на самій кривій назвемо замкнутою областю D. Якщо вибрати точки області без врахування точок, що лежать на кривій, область буде називається незамкнутою областю D.

З геометричної точки зору D – площа фігури, обмеженої контуром.

Розіб'ємо область D на n часткових областей сіткою прямих, що відстоять одна від одної по осі х на відстані Dх_i, а по осі y – на Dу_i. Загалом кажучи, такий порядок розбивки необов'язковий, можлива розбивка області на часткові ділянки довільної форми й розміру.

Одержуємо, що площа S ділиться на елементарні прямокутники, площі яких рівні S_i = Dx_i × Dy_i.

У кожній частковій області візьмемо довільну точку Р(х_i, y_i) і складемо інтегральну суму

де f – функція неперервна й однозначна для всіх точок області D.

Якщо нескінченно збільшувати кількість часткових областей D_i, тоді, очевидно, площа кожної часткової ділянки S_i прямує до нуля.

Визначення: Якщо при прямуванні до нуля кроку розбивки області D інтегральні суми мають скінченну границю, то ця границя називається подвійним інтеграломвід функції f(x, y) по області D.

З врахуванням того, що S_i = Dx_i × Dy_i одержуємо:

У наведенім вище записі є два знаки S, тому що підсумовування виробляється по двох змінним х і y.

Оскільки ділення області інтегрування довільне, також довільний і вибір точок Р_i, то, вважаючи всі площі S_i однаковими, одержуємо формулу:

Умови існування подвійного інтеграла.

Сформулюємо достатні умови існування подвійного інтеграла.

Теорема. Якщо функція f(x, y) неперервна в замкнутій області D, то подвійний інтеграл існує.

Теорема. Якщо функція f(x, y) обмежена в замкнутій області D і неперервна в ній усюди, крім кінцевого числа кусково-гладких ліній, то подвійний інтеграл існує.

Властивості подвійного інтеграла.

1)

2)

3) Якщо D = D₁ + D₂, то

4) Теорема про середнє. Подвійний інтеграл від функції f (x, y) дорівнює добутку значення цієї функції в деякій точці області інтегрування на площу області інтегрування.

5) Якщо в області D, то .

6) Якщо , то .

7) .

Обчислення подвійного інтеграла.

Теорема. Якщо функція f(x, y) неперервна в замкнутій області D, обмеженої лініями х = a, x = b, (a < b), y = j(x), y = y(x), де j і y – неперервні функції і , тоді

y y = y(x)

D

y = j(x)

a b x

Приклад. Обчислити інтеграл , якщо область D обмежена лініями: y = 0, y = x², x = 2.

y

D

0 2 x

=

=

Теорема. Якщо функція f(x, y) неперервна в замкнутій області D, обмеженої лініями y = c, y = d (c < d), x = F(y), x = Y(y)( ), то

Приклад. Обчислити інтеграл , якщо область D обмежена лініями y = x, x = 0, y = 1, y = 2.

y

y = x

D

0 x

Приклад. Обчислити інтеграл , якщо область інтегрування D обмежена лініями х = 0, х = y², y = 2.

=

Приклад. Обчислити подвійний інтеграл , якщо область інтегрування обмежена лініями ху=1, y = , х = 2.

1.

2.

3.

Заміна змінних у подвійному інтегралі.

Розглянемо подвійний інтеграл виду , де змінна х змінюється в границях від a до b, а змінна y – від j₁(x) до j₂(х).

Покладемо х = f(u, v); y = j (u, v)

Тоді dx = ; dy = ;

оскільки при першому інтегруванні змінна х приймається за сталу, то dx = 0.

, тобто

підставляючи цей вираз в записане вище співвідношення для dy, одержуємо:

Вираз називається визначником Якобіабо Якобіаномфункцій f(u, v) і j(u, v).

(Якобі Карл Густав Якоб – (1804–1851) – німецький математик)

Тоді

Оскільки при першому інтегруванні наведений вище вираз для dx приймає вигляд ( при першому інтегруванні думаємо v = const, dv = 0), то при зміні порядку інтегрування, одержуємо співвідношення:

Подвійний інтеграл у полярних координатах.

Скористаємося формулою заміни змінних:

При цьому відомо, що

У цьому випадку Якобіан має вигляд:

Тоді

Тут t – нова область значень,

Читайте також:

1. Загальний розв'язок і загальний інтеграл. Частинний та особливий розв'язки. Проміжні та перші інтеграли.
2. Подвійні зорі
3. Тема 8. Зорі та їх класифікація. Подвійні зорі. Фiзичні змінні зорі. Планетні системи інших зір.

Переглядів: 2549