• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Геометричні й фізичні застосування кратних інтегралів.

Потрійний інтеграл.

При розгляді потрійного інтеграла не будемо докладно зупинятися на всіх тих теоретичних викладках, які були детально розібрані стосовно до подвійного інтеграла, тому що істотних розходжень між ними немає.

Єдина відмінність полягає в тому, що при знаходженні потрійного інтеграла інтегрування ведеться не по двох, а по трьох змінних, а областю інтегрування є не частина площини, а деяка область у тривимірному просторі.

Підсумовування проводиться по області V, що обмежена деякою поверхнею j(x, y, z) = 0.

Тут х₁ і х₂ – сталу величини, y₁ і y₂ – можуть бути деякими функціями від х або постійними величинами, z₁ і z₂ – можуть бути функціями від х та y або сталими величинами.

Приклад. Обчислити інтеграл

Заміна змінних у потрійному інтегралі.

Операція заміни змінних у потрійному інтегралі аналогічна відповідній операції для подвійного інтеграла.

Можна записати:

Найчастіше до заміни змінної в потрійному інтегралі вдаються з метою перейти від декартовій прямокутної системи координат до циліндричної або сферичної системи. Див. Циліндрична та сферична системи координат.

Розглянемо ці перетворення докладніше.

Циліндрична система координат.

z

P

z

q x

r

y

Зв'язок координат довільної точки Р простору в циліндричній системі з координатами в декартовій прямокутній системі здійснюється за формулами:

Для подання потрійного інтеграла в циліндричних координатах обчислюємо Якобіан:

Разом:

Сферична система координат.

z

P

r

j

0 q x

y

Зв'язок координат довільної точки Р простору в сферичній системі з координатами в декартовій прямокутній системі здійснюється за формулами:

Для подання потрійного інтеграла в сферичних координатах обчислюємо Якобіан:

Остаточно одержуємо:

1) Обчислення площ у декартових координатах.

y

y = j(x)

S

y = f(x)

a b x

Площа S, показана на малюнку може бути обчислена за допомогою подвійного інтеграла за формулою:

Приклад. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями y² = 4x + 4; x + y – 2 = 0.

Побудуємо графіки заданих функцій:

Лінії перетинаються у двох точках – (0, 2) і (8, – 6). Таким чином, область інтегрування обмежена по осі Ох графіками кривих від до х = 2 – y, а по осі Oy – від – 6 до 2. Тоді шукана площа дорівнює:

2) Обчислення площ у полярних координатах.

3) Обчислення об'ємів тіл.

Нехай тіло обмежене знизу площиною ху, а згори – поверхнею z = f(x,y), а з боків – циліндричною поверхнею.

Таке тіло називається циліндроїд.

z

z = f(x, y)

x₁ y₁ x₂

x

y₂

y

Приклад. Обчислити об'єм, обмежений поверхнями: x² + y² = 1; x + y + z =3 і площиною xOy.

Межі інтегрування: по осі Оx:

по осі Оy: x₁ = – 1; x₂ = 1;

4) Обчислення площі кривої поверхні.

Якщо поверхня задана рівнянням: f (x, y, z) = 0, то площа її поверхні знаходиться за формулою:

Якщо поверхня задана в неявному виді, тобто рівнянням z = j(x, y), то площа цієї поверхні обчислюється за формулою:

5)Обчислення моментів інерції площ плоских фігур.

Нехай площа плоскої фігури (область D) обмежена лінією, рівняння якої f (x,y) = 0. Тоді моменти інерції цієї фігури перебувають за формулами:

– відносно осі Ох:

– відносно осі Оу:

– відносно початку координат: – цей момент інерції називають ще полярним моментом інерції.

6) Обчислення центрів ваги площ плоских фігур.

Координати центра ваги знаходяться за формулами:

тут w – поверхнева щільність (dm = wdydx -маса елемента площі).

7) Обчислення об'ємів тіл за допомогою потрійного інтеграла.

Якщо поверхня тіла описується рівнянням f (x, y, z) = 0, то об'єм тіла може бути знайдений за формулою:

при цьому z₁ і z₂ – функції від х і в або постійні, y₁ і y₂ – функції від х або сталі, х₁ і х₂ – постійні.

8) Координати центра ваги тіла.

9) Моменти інерції тіла щодо осей координат.

10) Моменти інерції тіла щодо координатних площин.

11) Момент інерції тіла відносно початку координат.

У наведених вище формулах п.п. 8 – 11 r – область обчислення інтеграла по об'єму, w – щільність тіла в точці (x, y, z), dv – елемент об'єму

- у декартових координатах: dv = dxdydz;

- у циліндричних координатах: dv = rdzdjdq;

- у сферичних координатах: dv = r²sinjdrdjdq.

12) Обчислення маси неоднорідного тіла.

Тепер щільність w – величина змінна.

Зміст КВМ Частина 1.

Зміст КВМ Частина 3.

Зміст КВМ Частина 4.

Зміст:

Читайте також:

1. V. Виконання вправ на застосування узагальнювальних правил.
2. А.1 Стан , та проблемні питання застосування симетричної та асиметричної криптографії.
3. А/. Фізичні особи як суб’єкти цивільного права.
4. Автомобільні ваги із застосуванням цифрових датчиків
5. Акти застосування норм права в механізмі правового регулювання.
6. Акти застосування юридичних норм: поняття, ознаки, види.
7. Акти правозастосування, їх види
8. Акти правозастосування.
9. Алгоритм із застосування річної процентної ставки r.
10. Алгоритм із застосуванням річної облікової ставки d.
11. Аміноглікозиди (стрептоміцину сульфат, гентаміцину сульфат). Механізм і спектр протимікробної дії, застосування, побічні ефекти.
12. Аналіз зображувальних засобів. Застосування цілісного аналізу

Переглядів: 1778