Деформації при об’ємному напруженному стані. Узагальнений закон Гука
Досліджуючи деформації й розглядаючи питання міцності при об’ємному та плоскому напружених станах, будемо відповідно до основних гіпотез та припущень вважати, що матеріал відповідає закону Гука, а деформації малі.
Відносна поздовжня деформація: (1)
а відносна поперечна деформація: (2)
Розглянемо деформацію елемента тіла
c+Δc b+Δb
с
b
a
a+Δa
Внаслідок деформації ребра елемента змінюють свою довжину й дорівнюють:
a+Δa; b+Δb; c+Δc.
Величини:
Називаються головними подовженнями і являють собою відносні подовження в головних напрямах.
Застосовуючи принцип суперпозиції, можна записати: , де
- відносне подовження в напружені , спричинене тільки на при .
- відносне подовження в тому самому напрямі, спричинене дією тільки
- подовження спричинене дією
Оскільки напрям самого напруження є поздовжнім, а для напруженьта – поперечним, то застосовуючи формули (1), (2) знаходимо, що
; ;
Склавши ці величини, матимемо
Аналогічно
Це узагальнений закон Гука для ізотропного тіла
Для плоского напруженого стану
;
Критерій найбільш нормальних напружень з трьох головних напружень враховує тільки одне – найбільше, вважаючи, що два інших не впливають ні міцність
Недоліки: Ця теорія дає задовільні результати тільки для дуже крихких матеріалів (камінь, цегла, кераміка, інструментальна сталь). Ця теорія не відображує перехід до пластичного стану.
Об’ємна деформація:
Нехай до деформації елемент займав об’єм . У деформованому стані його об’єм
;
Враховуючи узагальнений закон Гука
;
Можна ввести величину - модуль об’ємної деформації.
Потенціальна енергія деформації:
Потенціальною деформацією деформації називається енергія, що накопичується в тілі при його пружному деформуванні. Для стержня питома потенціальна енергія, тобто енергія, яка припадає на одиницю об’єму.
;
враховуючи, що , матимемо
Для об’ємного напруженого стану
;
При деформуванні елемента взагалі змінюється як його об’єм, так і форма(він з кубика перетворюється на паралелепіпед).
;
- питома потенціальна енергія зміни об’єму
- питома потенціальна енергія формозміни, та енергія яка накопичується внаслідок зміни форми елемента.
;
Критерії міцності (теорії міцності):
І. Критерій найбільших нормальних напружень.
Припускається, що руйнування матеріалу в загальному випадку напруженого стану виникає тоді, коли найбільше нормальне напруження досягає небезпечного значення . Останнє визначають при простому розтяганні або стисканні зразків з даного матеріалу