Плоский напружений стан виникає у випадку, коли два головних напруження не дорівнюють нулю, а третє дорівнює нулю.
Нехай , ,
Проведемо перерізи І-І, ІІ-ІІ, ІІІ-ІІІ, ІV-IV
Виділимо площадку α – переріз І-І, та β – переріз ІІ-ІІ. Переріз І-І провели під кутом β нормаль .Площадки (α) і (β) перпендикулярні.
Напруження і на площадці α будуть визиватись як дією , так і дією . Тоді застосовуючи принцип суперпозиції, тобто розглядаючи цей плоский напружений стан як накладання двох ортогональних одновісних напружених станів, можемо записати:
=
Де і -напруження, що спричинені дією ; а і - напруження, що спричиняються дією .
З формул для лінійного напруженого стану:
;
Для визначення і враховуємо, що утворює з напруженням кут . Тоді
знак так як відрахунок ведеться за годинниковою стрілкою. Тоді
;
Використавши додавання остаточно знайдемо :
На площадці ІІ-ІІ проведем нормаль . Нормаль Утворює з напрямом кут .
Тоді:
З цих рівнянь маємо, що:
─ сума нормальних напружень по двох взаємно перпендикулярних площадках не залежить від кута нахилу цих площадок і дорівнює сумі головних напружень.
─ ця рівність виражає закон парності дотичних напружень.
Максимальне дотичне напруження: , .
В теорії плоско напруженого стану можна розмежувати дві основні задачі: пряма і зворотна.
Пряма задача. В точці відомі положення головних площадок, і відповідні до них головні напруження. Треба знайти нормальні і дотичні напруження, що діють на площадках, які нахилені під заданим кутом до головних;
Зворотна задача. В точці відомі нормалі й дотичні напруження, що діють у двох взаємно перпендикулярних площадках, що походять через дану точку. Треба знайти головні площадки та головні напруження.