• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Сталими коефіцієнтами.

Неоднорідного диференціального рівняння із

Знаходження частинного розв’язку лінійного

Тема: Метод невизначених коефіцієнтів.

Лекція № 14

ЛIТЕРАТУРА

1. Бельський К.С. Финансовое право: наука, история, библиография.- М.: Юрист, 1995.

2. Буковинський С.А. Концептуальні засади управління бюджетними коштами в

3. Україні // Фінанси України.- 2001.- №5.- с.24-33.

4. Василик О. Фінанси в економічній системі держави // Фінанси України.-

5. 2000.- №1.- с.3-10.

6. Дєєва Н.М. Реформування фінансової системи – головна запорука зміцнення

7. державності ( у порядку обговорення) // Фінанси України.- 2000.- №9.- с.134-140.

8. Ивлиева М.Ф. Категория "финансы" и "финансовая деятельность государства" в науке финансового права // Государство и право.- 2004.- №7.- С.20-26.

9. Іващук І.О. Фінансова система України // Фінанси України.- 2001.- №12.- с.142-152.

10. Карасева М.В. Финансовая деятельность государства – основополагающая категория финансово-правовой науки // Государство и параво.- 1996.- №11.- с.75-84.

11. Концепцiя розвитку Мiнiстерства фiнансiв України // Фiнанси України.- 1997.- №3.- с.27-41.

Частинний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння можна знайти методом варіації сталих, проте цей метод є досить громіздким. Існують для даних видів правої частини рівняння (1)(Л. 13) простіші методи знаходження частинних розв’язків без квадратур. Нехай права частина рівняння (1)(Л. 13) має вигляд:

, де - довільний многочлен m-ого степеня, - довільна стала.

Отже розглядаємо рівняння: (1)

Оскільки при диференціюванні множиться тільки на сталий множник , то природно шукати частинний розв’язок у вигляді добутку деякої функції на .

Після виконання усіх операцій зазначених в лівій частині рівняння (1), скорочення на , в лівій частині залишиться многочлен тотожний .

Припустимо, що в шуканому частинному розв’язку додатковим многочленом до буде деякий многочлен від (х), таким чином частинний розв’язок будемо шукати у вигляді:

(2), де - многочлен з невідомими коефіцієнтами та степенем.

Їх нам потрібно визначити: для цього підставимо (2) в (1). У формулу (3(Л. 13)) замість k підставимо , замість Помноживши через ліву частину характеристичного рівняння при матимемо:

Звідси: (3)

Якщо не є коренем характеристичного рівняння , тобто , тоді степінь многочлена повинен збігатися із степенем Припускаємо, що:

, де - невизначені коефіцієнти. Підставивши цей вираз замість в (3) матимемо тотожність. Прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях х у лівій і правій частинах цієї тотожності, дістанемо систему з m + 1 рівнянь відносно невідомих . Оскільки то система дає змогу знайти коефіцієнти .

Приклад:

Розв’язати рівняння: .

Розв’язання: Загальний розв’язок шукаємо у вигляді: .

Складемо характеристичне рівняння відповідного однорідного рівняння.

; звідки

Оскільки , то:

Припустимо, що , тобто - корінь характеристичного рівняння, і нехай - корінь кратності Тоді:

Тоді рівняння (3) набуде вигляду:

(4)

Многочлени лівої і правої частини повинні бути однакового степеня, тобто многочлен лівої частини має степінь m. А отже - та похідна від буде m - того степеня, тобто матиме степінь m + r:

(5)

Ліва частина (4) містить похідні з r-ої по n-ту. При підстановці (5) в (4) і знаходженні похідних від всі члени правої частини, починаючи з зникають. Тому доцільно припустити, що

Тоді: або

Отже, якщо - корінь характеристичного рівняння кратності r, то частинний розв’язок рівняння (1) шукатимемо у вигляді:

, де - многочлен того ж степеня що й

Отже, щоб знайти коефіцієнти многочлена підставимо в задане рівняння замість у вираз , скорочуємо на отриману рівність, прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях х і з утвореної системи рівнянь отримаємо коефіцієнти многочлена .

Приклад 1:

Розв’язати рівняння:

Розв’язання:

- двократний корінь характеристичного рівняння.

Приклад 2:

Розв’язати диференціальне рівняння:

Використавши т. 4 лекції 10-11 розв’язок цього рівняння буде: , де

- частковий розв’язок рівняння:

- частковий розв’язок рівняння:

шукаємо у вигляді: , бо 0 – двократний корінь характеристичного рівняння.

Підставивши у рівняння отримаємо:

шукаємо у вигляді:

Зауваження: Отже, способом невизначених коефіцієнтів можна розв’язувати неоднорідні диференціальні рівняння в яких права частина: , де многочлен степеня m, а - степеня n.

Нехай права частина рівняння (1) має вигляд:

де многочлен m-того степеня, - будь-які дійсні числа. В цьому випадку частинний розв’язок шукають у вигляді:

.

Якщо число є коренями характеристичного рівняння кратності r, то:

.

Якщо рівняння (1) має вигляд:

де - многочлени відповідно степеня , то частинний розв’язок шукаємо у вигляді:

де - частинний розв’язок рівняння: - частинний розв’язок рівняння:

Якщо число не є коренями відповідно характеристичного рівняння, то:

де - многочлен степеня а

- многочлен степеня . Тоді:

.

Нехай: ; m-більше з чисел

Тоді, якщо число не є коренями характеристичного рівняння, то частинний розв’язок з невизначеними коефіцієнтами шукають у виді:

Якщо є число є коренями характеристичного рівняння кратності , то частинний розв’язок з невизначеними коефіцієнтами шукаємо у вигляді:

Приклад:

Знайти розв’язок рівняння:

Розв’язання:

Розв’язок шукаємо у вигляді:

Тоді:

Знайдемо методом невизначених коефіцієнтів.

Права частина число не є коренем характеристичного рівняння, тому розв’язок шукають у вигляді:

Отже:

Читайте також:

1. Автоматизація водорозподілу регулювання зі сталими перепадами
2. Статистичний аналіз комплексного розвитку регіонів за інтегральними коефіцієнтами.

Переглядів: 303