Розглянемо задачі які при їх розв’язанні застосовується мішаного добутку векторів.
Задача 1. Обчислення об’єму тетраедра (трикутної піраміди)Об’єм трикутної піраміди АВСD становить одну шосту об’єму паралелепіпеда, побудованого на даних векторах , тобто
(1.13)
Приклад 12. Знайти об’єм піраміди, вершини якої знаходяться в точках А(2; -1; 1), В(5; 5; 4), С(3; 2; -1), D(4; 1; 3).
Розв’язання:
Знаходимо координати векторів :
далі обчислюємо їх мішаний добуток
Використовуючи формулу (1.13) отримаємо
Відповідь: Об’єм піраміди дорівнює
Приклад 13. Дано вершини тетраедра: А(2; 3; 1), В(4; 1; -2), С(6; 3; 7), D(9; -4; 8). Обчислити довжину висоти, опущеної з вершини D на площину АВС.
Розв’язання:
Знаходимо координати векторів , які збігаються з ребрам и тетраедра
далі обчислюємо їх мішаний добуток
Використовуючи формулу (1.13) отримаємо
З іншого боку
. (1.14)
де h – висота піраміди.
Використовуючи формулу (1.8) то площа ΔАВС дорівнює половині площі паралелограма, побудованого на векторах , тобто
Площа трикутника ΔАВС дорівнює половині площі паралелограма, побудованого на векторах :
Відповідь:Довжину висоти, опущеної з вершини D дорівнює 5 од.