Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Шифр зсуву.

Афінні шифри

В цьому параграфі ми розглянемо афінні шифри — підклас шифрів заміни, що включає як частковий випадок шифр Віженера і навіть шифр перестановки з фіксованим періодом.

3.1. Шифри простої заміни II. Зазначимо, що в рамках формалізації, впровадженої у пункті 1.1, моноалфавітні k-грамні шифри заміни можна означити як блокові шифри з періодом k. Відповіднo шифри простої заміни можна трактувати як блокові шифри з перідом l.

Давайте повернемось ще раз до шифру зсуву, нашого першого прикладу шифру простої заміни (пункти 1.1.1 та 1.2.1). Подивимось, як можна описати цей шифр із застосуванням арифметичного апарату розвиненого у попередньому параграфі. Користь такого підходу зрoзуміла — обчислювальну техніку майже завжди простіше навчити оперувати із числовою інформацією, аніж із символьною. Основна домвленість, якої ми будемо дотримуватись до кінця цього параграфу, тaка:

n-символьний алфавіт утотожнюємо з кільцем Zn. А саме, кожна буква замінюється чвоїм номером у алфавіті причому номерація починається з нулч

 

Наприклад, латинська абетка утотожнюється із Z26, а українська із Z33. Літера а української абетки трактується як 0, літера б як 1, в як 2 і т.д. Тепер до букв відкритого тексту ми можемо вільно застосовувати • операції додавання та множення за відповідним модулем.

До кінця параграфу n буде служити позначенням для кількості букв у алфавіті відкритого тексту. Отже:

Ключ: s таке, що 0 s < п.

Шифрування. У повідомленні кожна буква х заміщується буквою; Е(х) = (х + s) mod n.

Дешифрування. У криптотексті кожна буква х' заміщується буквою D(x') = (х' + s') mod п, де s' = п - s. Величину зворотнього зсуву s' будемо називати дешифруючим ключем.

За аналогією введемо у розгляд

ЛІНІЙНИЙ ШИФР.

Ключ: а таке, що 0 а < п і НСД (а, п) = 1.

Шифрування.У повідомлені кожна буква х заміщується буквою У(х) = (ах)modn

Дешифрування. У криптотексті кожна буква х' заміщується буквою
D(x') = (а'х' + s') mod n, де пара а' = a-1 mod n дешифруючий ключ.

3.2. Афінні шифри вищих порядків. Подумаємо, як можна розширити монограмні шифри попереднього пункту так, щоб вони оперували з k-грамами для довільного k > 1. Спочатку введемо операцію додавання в . Сумою векторів X = (х1,..., xk) і S = (s1,..., Sk) з є вектрр X + S = (х1 + s1) mod n,..., (xk + sk) mod n). з операцією додавання є групою. Вектор —S = (п – s1,.. ., n — sk) є оберненим до вектора S — (s1,..., sk).

ШИФР ЗСУВУ К-ГО ПОРЯДКУ (ШИФР ВІЖЕНЕРА З ПЕРІОДОМ k).

Ключ: S Є .

Шифрування. Повідомлення розбивається на k-грами. Кожна k-грама X заміщується
k-грамою Е(Х) = X + S.

Дешифрування. Кожна k-грама X’ криптотексту заміщується k-грамою D(X') = X’ + S', де S' = —S є дешифруючим ключем.

Перед тим як перейти до лінійного шифру нагадаємо, що через Mk(Zn) ми позначаємо множину матриць розміру А х А; з коефіцієнтами з кільця Zn, а через GL(Zn) — підмножину оборотних матриць. Для А Є GLk(Zn) обернену до неї матрицю позначаємо через А-1 Добутком АХ матриці А = (aij) з Mk(Zn) на вектор-стовпчик X = (х1,..., xk) з є вектор-стовпчик

 

 

ЛІНІЙНИЙ ШИФР К-ГО ПОРЯДКУ.

Ключ: AGLk(Zn).

Шифрування. Повідомлення розбивається на k-грами. Кожна k- грама X заміщується
k-грамою Е(Х) = АХ.

Дешифрування. Кожна k-грама X’ криптотексту заміщується k-грамою D(X') = А'Х', де А' = А-1 — дешифруючий ключ.

Приклад 3.4. Лінійний шифр 1-го порядку обговорювався у попередньому пункті. Розглянемо докладніше випадок k = 2, тобто біграмний лінійний шифр. В якості ключа вибирається матриця

з коефіцієнтами a,ь,c,d Є Zn. Матриця А повинна бути оборотною. За твердженням Б.5 це рівнозначно умові НСД (w, n) = 1 для w = ad — ьс — визначника матриці. За цієї умови з допомогою розширеного алгоритму Евкліда ми можемо знайти в Zn обернений елемент w-1 і за формулою оберненої матриці обчислити дешифруючий ключ

Наприклад, для над Z33 маємо w = 2. За розширеним алгоритмом Евкліда знаходимо w-1 = 17 (див. приклад 2.9) і

Нехай потрібно зашифрувати повідомлення завтра. Першій біграмі за відповідає вектор . Множення на матрицю А дає . Таким же чином знаходимо образи біграми вт та ра.

Насамкінець перетворюємо стовпчики отриманої матриці у біграми і отримуємо криптотекст зффррй.

Дешифрування відбувається так само, лише із використанням оберненої матриці. Наприклад, якщо ми маємо криптотекст рьгк, то розбиваємо його на біграми і виконуємо множення на матрицю А':

В результаті дістаємо повідомлення нині.

Повернемось до загального аналізу лінійного шифру. Співвідношення D(E(X)) = X для будь-якого X випливає з рівностей А' (АХ) = (А'А)Х = IkX = X , де Ік — одинична матриця порядку k. Дешифруючий ключ А' для вибраної оборотною матриці А обчислюється ефективно за формулою для оберненої матриці (див. пункт Б. 6). Потрібне для цього значення (detA)-1 mod n знаходиться за допомогою розширеного алгоритму Евкліда (приклад 2.9). На довершення доведемо, що необоротні матриці А непридатні для використання в якості ключа.

Твердження 3.5. Відображення Е : , задане формулою Е(Х) = АХ, має обернене тоді і тільки тоді, коли АGLk(Zn).

Доведення. При АGLk(Zn) існування відображення, оберненого до Е, було встановлене вище. Навпаки, припустимо, що Е має обернене відображення D. Позначимо через Хі,
1 і k, вектор з і-тою компонентою 1 і з рештою компонент, що дорівнюють 0. Розглянемо матрицю U із стовпчиками D(X1), . . . , D(Xk). Зауважимо, що AU = Ik, тобто матриця U є правою оберненою до А. Отже, матриця А оборотна (див. твердження Б. 5).

 

Тепер на черзі


Читайте також:

  1. Дії після зсуву.




Переглядів: 2618

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Доведення. | 

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

  

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.016 сек.