• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Згортка.

Таблиця основних зображень.

№ п.п.			№ п.п.
1.			7.
2.			8.
3.			9.
4.			10.
5.			11.
6.			12.

Лекція 15

5. Диференціювання та інтегрування оригіналів та зображень.

Теорема 1 (про диференціювання оригіналу). Нехай і - оригінал, тоді

.

Доведення.

Наслідок.Якщо – оригінали з показником росту і , то

.

Приклад 1. Знайти зображення диференціального виразу за умов

Розв’язання.Позначимо через зображення функції . Тоді відповідно до теореми про диференціювання оригіналу

;

;

.

Тоді,

Теорема 2 (про диференціювання зображення). Якщо , то

Доведення.Оскільки, то

Наслідок.

Приклад 2. Знайти зображення функції .

Розв’язання.Оскільки , то за теоремою про диференціювання зображення

, , , ,,, , .

Теорема 3 (про інтегрування оригіналу). Якщо і неперервна на інтервалі , то

.

Доведення.Нехай і . Тоді

Приклад 3. Знайти зображення функції .

Розв’язання.Нехай

Тоді

.

За теоремою про інтегрування оригіналу

.

Теорема 4 (про інтегрування зображення). Якщо і – оригінал з показником , то

.

Приклад 4. Знайти зображення функції .

Розв’язання.Маємо

Тоді

.

Зауваження.Якщо , то

,

за умови, що обидва невластиві інтеграли збіжні.

Приклад 5.

Oзначення.Згорткою двох функцій і називається функція , яка визначається рівністю

.

Операція згортання позначається так: .

Теорема 1. .

Доведення..

Приклад.Знайти згортку функцій і .

Розв’язання.Маємо

Теорема 2 (про згортку). Якщо , , то

,

де .

У такому формулюванні цю теорему використовують для знаходження оригіналу за заданим зображенням.

Приклад 5. За зображенням знайти .

Розв’язання.Подамо це зображення у вигляді добутку двох множників, оригінали яких відомі:

,. Тоді,

Теорема 6. Якщо, і – оригінал, то

,

де , -показники росту оригіналів.

Цю формулу називають формулою Дюамеля.

Доведення.

Приклад.Знайти оригінал зображення.

Розв’язання. .

Отже, .

Лекція 16.

Знаходження оригіналу за його зображенням.

Для знаходження оригіналу за відомим зображенням можна використовувати формулу обернення Мелліна:якщо функція є оригіналом з показником росту , а – її зображенням, то в довільній точці , в якій функція неперервна

,

де інтегрування здійснюється вздовж довільної прямої .

На практиці для знаходження оригіналу використовуються наступні прийоми.

А. Розклад на прості дроби.

Якщо є дробово-раціональною функцією, причому степінь чисельника менший за степінь знаменника , то цей дріб розкладають на суму простих дробів і знаходять оригінали для кожного простого дробу безпосередньо за таблицею зображень оригіналів.

Приклад 1. Знайти оригінал функції .

Розв’язання.Функція є простим дробом. Розкладемо її на суму таких дробів, оригінали яких можна знайти за таблицею зображень оригіналів.

,

.

Остаточно, .

Приклад 2. Знайти оригінал функції .

Розв’язання.Розкладемо функцію на прості дроби:

.

Тоді, , звідки , , . Таким чином,

,

.

Остаточно, .

Переглядів: 2925