• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Згортка.

Таблиця основних зображень.

№ п.п.			№ п.п.
1.			7.
2.			8.
3.			9.
4.			10.
5.			11.
6.			12.

Лекція 15

5. Диференціювання та інтегрування оригіналів та зображень.

Теорема 1 (про диференціювання оригіналу). Нехай і - оригінал, тоді

.

Доведення.

Наслідок.Якщо – оригінали з показником росту і , то

.

Приклад 1. Знайти зображення диференціального виразу за умов

Розв’язання.Позначимо через зображення функції . Тоді відповідно до теореми про диференціювання оригіналу

;

;

.

Тоді,

Теорема 2 (про диференціювання зображення). Якщо , то

Доведення.Оскільки, то

Наслідок.

Приклад 2. Знайти зображення функції .

Розв’язання.Оскільки , то за теоремою про диференціювання зображення

, , , ,,, , .

Теорема 3 (про інтегрування оригіналу). Якщо і неперервна на інтервалі , то

.

Доведення.Нехай і . Тоді

Приклад 3. Знайти зображення функції .

Розв’язання.Нехай

Тоді

.

За теоремою про інтегрування оригіналу

.

Теорема 4 (про інтегрування зображення). Якщо і – оригінал з показником , то

.

Приклад 4. Знайти зображення функції .

Розв’язання.Маємо

Тоді

.

Зауваження.Якщо , то

,

за умови, що обидва невластиві інтеграли збіжні.

Приклад 5.

Oзначення.Згорткою двох функцій і називається функція , яка визначається рівністю

.

Операція згортання позначається так: .

Теорема 1. .

Доведення..

Приклад.Знайти згортку функцій і .

Розв’язання.Маємо

Теорема 2 (про згортку). Якщо , , то

,

де .

У такому формулюванні цю теорему використовують для знаходження оригіналу за заданим зображенням.

Приклад 5. За зображенням знайти .

Розв’язання.Подамо це зображення у вигляді добутку двох множників, оригінали яких відомі:

,. Тоді,

Теорема 6. Якщо, і – оригінал, то

,

де , -показники росту оригіналів.

Цю формулу називають формулою Дюамеля.

Доведення.

Приклад.Знайти оригінал зображення.

Розв’язання. .

Отже, .

Лекція 16.

Знаходження оригіналу за його зображенням.

Для знаходження оригіналу за відомим зображенням можна використовувати формулу обернення Мелліна:якщо функція є оригіналом з показником росту , а – її зображенням, то в довільній точці , в якій функція неперервна

,

де інтегрування здійснюється вздовж довільної прямої .

На практиці для знаходження оригіналу використовуються наступні прийоми.

А. Розклад на прості дроби.

Якщо є дробово-раціональною функцією, причому степінь чисельника менший за степінь знаменника , то цей дріб розкладають на суму простих дробів і знаходять оригінали для кожного простого дробу безпосередньо за таблицею зображень оригіналів.

Приклад 1. Знайти оригінал функції .

Розв’язання.Функція є простим дробом. Розкладемо її на суму таких дробів, оригінали яких можна знайти за таблицею зображень оригіналів.

,

.

Остаточно, .

Приклад 2. Знайти оригінал функції .

Розв’язання.Розкладемо функцію на прості дроби:

.

Тоді, , звідки , , . Таким чином,

,

.

Остаточно, .

Переглядів: 3010