Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Контакти
 


Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция






Перетворення Лапласа

1. Оригінал

Означення 1.Комплекснозначна функція дійсної змінної називається оригіналом, якщо вона задовольняє такі умови:

1) при ;

2) при функція кусково-неперервна, тобто на будь-якому проміжку має не більш ніж скінченну кількість розривів першого роду;

3) при функція має обмежений степінь зростання, тобто існує таке додатне число і таке невід’ємне число , що для всіх виконується нерівність

.

Точну нижню межу (найменше значення) , для якого виконується умова 3), називають показником росту функції .

Функції-оригінали при або обмежені або прямують до нескінченності не швидше, ніж показникові функція . Такі функції ще називають функціями експоненціального типу.

Найпростішим прикладом оригіналу є одинична функція Хевісайда

(достатньо взяти ).

Якщо задовольняє умови 2) і 3), то функція

є оригіналом. Тому надалі для скорочення запису домовимось замість писати і пам’ятати, що при рівна нулеві.

Функції є оригіналами. Проте далеко не всі функції є оригіналами. Наприклад, не є оригіналом, бо не виконується умова 3); функція теж не є оригіналом, бо не виконується умова 2).

Зауваження. Якщо і оригінали, то для довільних сталих функції , при , , , та також є оригіналами.

2.Зображення

Означення 2. Зображенням (перетворенням Лапласа) функції-оригіналу називається функція комплексної змінної , що визначається інтегралом Лапласа:

.

Символічно перетворення Лапласа записують або .

Зрозуміло, що потрібно з’ясувати, де ж інтеграл Лапласа збігається.

Теорема 1.Якщо функція – оригінал з показником росту , то інтеграл Лапласа абсолютно збігається в півплощині , а саме

,

і є в цій півплощині аналітичною функцією.

Теорема 2 (необхідна умова існування зображення).Якщо функція – зображення функції з показником росту , то .

Знайдемо зображення деяких функцій, використовуючи означення.

Приклад 1.Знайти зображення одиничної функції Хевісайда.

Розв’язання. Функція є оригіналом з показником росту . Інтеграл Лапласа

.

Якщо , то . Таким чином, .

Приклад 2.Знайти зображення функції .

Розв’язання. Функція є оригіналом з показником росту . Інтеграл Лапласа

.

Оскільки , то при . Отже, .

3. Лінійність перетворення Лапласа.

Теорема 1.Нехай ,-довільні числа. Тоді

.

Доведення.

Теорема 2 (теорема єдності).Якщо , то .

Приклад 1.Знайти зображення функції .

Розв’язання. Функція є оригіналом з показником росту . Оскільки , то за властивістю лінійності маємо при :

.

Вправа.Показати, що: 1) ; 2) ; 3) .

4. Основні теореми.

Теорема 3 (теорема подібності).Якщо , де , то при

,

де .

Доведення. За означенням перетворення Лапласа маємо

,

оскільки .

Приклад 2. Знайти зображення функцій , , , .

Розв’язання.За теоремою подібності

; ;

; .

Теорема 4 (теорема про зміщення зображення).Якщо , , то

,

де .

Доведення. За означенням перетворення Лапласа маємо

,

де .

Приклад 3. Знайти зображення функцій ; .

Розв’язання.За теоремою про зміщення зображення

; .

Теорема 5 (теорема про запізнення). Якщо , то

,

де – довільне додатне число.

Доведення. Функція-оригінал має вигляд:

За означенням перетворення Лапласа маємо

.

Перший інтеграл дорівнює нулю, оскільки , коли . У другому інтегралі зробимо заміну . Тоді

 

 

Теорема 6 (теорема про випередження). Якщо , то

,

де – довільне додатне число.

Процес, що описується функцією , починається пізніше на час ніж процес, який описується функцією , а відповідно скоріше на , тому і відповідні теореми називаються теоремами запізнювання і випередження.

 

Теорема 7 (зображення періодичного оригіналу). Якщо – періодична функція, період якої , і, то .


Читайте також:

  1. Адаптивні хвилькові перетворення : Хвилькові пакети.
  2. Визначення перетворення за Лапласом
  3. Визначення. Матриці, отримані в результаті елементарного перетворення, називаються еквівалентними.
  4. Визначте соціальні перетворення в процесі радянізації українського суспільства.
  5. Виконаємо лінійне перетворення
  6. Вимірювальні сигнали, перетворення вимірювальних сигналів, форми вимірювальної інформації
  7. Вирішення проблеми не міститься в існуючому знанні та не може бути отримане шляхом перетворення наявної наукової інформації.
  8. Вирішення проблеми не міститься в існуючому знанні та не може бути отримане шляхом перетворення наявної наукової інформації.
  9. Властивості зворотного перетворення за Лапласом
  10. Властивості прямого перетворення за Лапласом
  11. Вплив легуючих елементів на перетворення в сталі
  12. Встановлення комуністичного політичного режиму в Україні в 20-х – 30-х роках ХХ ст.: соціально-економічні перетворення




Переглядів: 5023

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Позначення ступеня відповідності. | Згортка.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

 

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.005 сек.