Алгоритми швидкого перетворення Фур’є та їх програмна реалізація
Оскільки алгоритми ШПФ є одними з найуживаніших при опрацюванні сигналів їх розгляд є доцільним в даному посібнику.
Алгоритм швидкого перетворення Фур'є – є оптимізованим за швидкодією способом обчислення дискретного перетворення Фур'є (ДПФ), що має складність O(Nlog2N) на відміну від складності ДПФ порядку O(N2).
Визначення 1. Дано кінцеву послідовність x0, x1, x2,..., xN-1 (у загальному випадку комплексних чисел). ДПФ полягає в пошуку послідовності X0, X1, X2,..., XN-1, елементи якої обчислюються за формулою:
(2.1)
Визначення 2.Зворотне ДПФ полягає в пошуку послідовності x0, x1, x2,..., xN-1, елементи якої обчислюються за формулою:
(2.2)
Основною властивістю перетворень (2.1) і (2.2) є те, що з послідовності {x} отримується (при прямому перетворенні) послідовність {X}, а якщо застосувати до {X} зворотне перетворення, то знову отримується вихідна послідовність {x}.
Визначення 3.Величина
називаєтьсяповертаючим множником.
Властивості повертаючих множників
При k = 1
Пряме перетворення Фур'є можна виразити через повертаючі множники. Тоді формула (2.1) матиме вигляд:
(2.3)
Геометричне тлумачення повертаючих множників наведене на рис.1. Комплексне число (rejφ) представлене у вигляді вектора, що виходить із початку координат (r - модуль числа, а φ – аргумент). Модуль відповідає довжині вектора, а аргумент - куту повороту. Модуль повертаючого множника . дорівнює одиниці, а фаза - 2π/N. Оскільки при множенні комплексних чисел, представлених у показниковій формі, їхні модулі перемножуються, а аргументи підсумовуються, множення вихідного числа на повертаючий множник не змінить довжину вектора, але змінить його кут. Тобто, відбудеться повертання вектора на кут 2π/N.
З формули (2.3) можна визначити геометричний зміст перетворення Фур'є таким чином: представити N комплексних чисел-векторів з набору {x}, кожне у вигляді суми векторів з набору {X}, повернених на кути, кратні 2π/N.