• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Потужність континууму

Теорема 2 (Кантора) . Множина дійсних чисел з інтервалу (0, 1) не є зчисленною.

Дійсно, доведемо, що множина X = (0, 1) дійсних чисел, які задовольняють нерівність 0 ≤ x ≤ 1, не є зчисленною.

Доведення проведемо від протилежного. Припустимо, що X зчисленна й існує деяка бієкція N на Х, тобто елементи X можуть бути записані y вигляді деякої послідовності x₁, x₂, x₃, …, елементи якої попарно різні. Крім того, розглянемо дійсне число ξ, яке визначимо так: перед комою поставимо 0, потім як j-й десятковий знак виберемо довільне ціле число між 1 і 8, яке відрізняється від j-го десяткового знака числа х_j. Таким способом ми утворюємо нескінченний дріб, що визначає деяке число ξ. Для довільного натурального j маємо таке. Оскільки j-й десятковий знак числа ξ відрізняється від j-го десяткового знака числа х_j і всі десяткові знаки числа ξ відрізняються від 0 і 9, то ξ ≠ х_j (не допускаємо знаків 0 і 9, бо 0,102000... і 0,101999... одне і те ж саме число). Значить число ξ не збігається ні з одним з чисел послідовності x₁, x₂, x₃, … Ми отримали суперечність. Це й доводить теорему.

Будемо потужність множини X = (0, 1) називати потужністю континууму. Потужність континууму - це також потужність множини всіх дійсних чисел, оскільки є бієкцією (0, 1) на R.

Дійсно, нехай x1≠x2 Припустимо, що суперечність Отже, це відображення ін’єктивне.

Це відображення також є сюр’єктивним, бо з рівності .

Наведемо без доведення теорему.

Теорема 3 (Бернштейна). Нехай X та Y – дві довільні множини. Тоді 1) або існує ін’єкція X в Y, або існує ін’єкція Y в X (обидві обставини не виключають одна одну); 2) якщо існує одночасно ін’єкція X в Y та ін’єкція Y в X, то існує також бієкція X на Y.

Наслідок. Для заданих множин X та Y є тільки три можливості:

а) існує ін’єкція X в Y і не існує ін’єкція Y в X. В цьому випадку говорять, що Y має потужність строго більшу потужності X, або що X має потужність, строго меншу потужності Y;

б) існує ін’єкція Y в X і не існує ін’єкція X в Y. Тоді X має потужність строго більшу потужності Y або Y має потужність, строго меншу потужності X;

в) існує бієкція X в Y. У цьому випадку кажуть, що X і Y мають однакову потужність або рівнопотужні.

Теорема 4. Якою б не була множина X, множина її підмножин має потужність, строго більшу потужності X.

Виходячи з останньої теореми, для нескінченних множин існує нескінченне число класів рівнопотужних множин.

На завершення сформулюємо континуум-гіпотезу. Згідно цієї гіпотези, клас множини P(N) іде одразу за класом множини N(тобто між ними не можна вставити проміжний клас). Узагальнена континуум-гіпотеза полягає в припущенні, що при довільній множині X клас множини P(X) іде безпосередньо за класом множини X. Доведено (П. Коен, 1968 р.), що континуум-гіпотеза не має рішення – її не можливо ані довести, ані спростувати, можна тільки прийняти її або протилежне їй твердження як аксіому.

Читайте також:

1. Виробнича потужність
2. Виробнича потужність підприємств будіндустрії
3. Виробнича потужність підприємства
4. Виробнича потужність підприємства її види та принципи її розрахунку
5. Виробнича потужність підприємства, методи її визначення
6. Виробнича потужність підприємства, оснащеного однотипним устаткуванням, може бути визначений за формулою
7. Економічна потужність.
8. Електроенергія. Потужність та ККД
9. Енергія і потужність в електричних колах постійного струму
10. Енергія й потужність електричних ланцюгів
11. Енергія, робота та потужність
12. З'єднання споживачів зіркою. У загальному випадку несиметричного навантаження активна потужність трифазного приймача дорівнює сумі активних потужностей окремих фаз

Переглядів: 1059