• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Приклади розв’язання типових задач

1. Довести тотожність для множин: A \ (B Ç C) = (A \ B) È (A \ C)

Розв’язування: Запишемо ланцюжок рівносильних тверджень

xÎA \ (B Ç C) Û (xÎA)i (xÏB Ç C) Û (xÎA)i (xÎ) Û (xÎA)i (xÎ) Û

(xÎA)i (xÎабо xÎ) Û (xÎA i xÎ) або (xÎA i xÎ) Û (xÎA i xÏB) або (xÎA i xÏС) Û xÎ(A \ B) È (A \ C)

Таким чином, множини A \ (B Ç C) та (A \ B) È (A \ C) співпадають. Тотожність доведено.

2. Дослідити властивості (ін’єктивність, сюр’єктивність та бієктивніть) відображення f : X → Y, де X – множина прямокутників на площині , Y = R₊ - множина додатніх дійсних чисел, f (x) = площа (x).

Розв’язування: Введемо такі позначення. Довільний прямокутник x можна подати як впорядковану пару довжин його сторін (a_x, b_x) де a_x та b_x – додатні дійсні числа, тоді відображення f (x) = площа (x) визначатиметься виразом f (x) = s_x = a_x×b_x.

a) ін’єктивність. Візьмемо довільне s Î Y та виберемо прямокутник зі сторонами a_x і b_x =. Тоді для довільного a_x, площа f (x) == s. Отже, довільне число прямокутників будуть переходити при даному відображенні в одне і те ж число s. Тому відображення не є ін’єктивним;

б) сюр’єктивність. Подібно до наведених вище міркувань візьмемо довільне y Î Y та зафіксуємо одну із сторін прямокутника a_x = 1. Тоді b_x = y і для кожного додатнього цілого числа y Î Y у множині X знайдеться прямокутник зі сторонами (1, y). Значить, відображення сюр’єктивне;

б) бієктивність. Оскільки задане відображення не ін’єктивне, то за означенням воно не є бієктивним.

3. Задано відношення R Í X ´ X, X = N, (x, y) Î R, якщо x ² – y ² ділиться на 2 (мається на увазі без остачі). Дослідити відношення на рефлективність, антирефлективність, симетричність, антисиметричність, транзитивність.

Розв’язування: Очевидно, що відношення є рефлективним, бо для довільного x з множини натуральних чисел вираз x ² ‑ x ² рівний нулю, а отже ділиться на 2.

Відношення не є рефлективним, бо скажімо для x=7 пара (7,7) належить до відношення.

При аналізі на симетричність припустимо, що (x, y) Î R, і нехай (x ² – y ²) / 2 = z. Тоді для (y, x), (y ² – x ²) / 2 = -z, отже і (y, x) Î R. Звідси робимо висновок, що відношення R є симетричним.

Дане відношення не є антисиметричним: для різних елементів x=11 та y=3 з множини натуральних чисел одночасно виконуються умови: x ² – y ² ділиться на 2 та y ² – x ² ділиться на 2.

З умови належності пари (x, y) відношенню R випливає, що x та y повинні одночасно бути або парними або непарними числами. Для того, щоб (y, z) Î R, необхідно, щоб число z також було або парним або непарним одночасно з числом y, а, отже, і з числом x. Тому умова транзитивності (x R y і y R z Þ x R z) виконується.

Так як, досліджене відношення R є рефлективним, симетричним та транзитивним, то це - відношення еквівалентності.

Читайте також:

1. IV. Перевірка розв’язання і відповідь
2. Алгоритм розв’язання задачі
3. Алгоритм розв’язання розподільної задачі
4. Алгоритм розв’язування задачі
5. Алгоритм розв’язування задачі
6. Алгоритм розв’язування задачі
7. Алгоритм розв’язування задачі
8. Алгоритм розв’язування задачі
9. Алгоритм розв’язування задачі
10. Алгоритм розв’язування задачі оптимізації в Excel
11. Аналіз задач і алгоритмів
12. Аналіз інформації та постановка задачі дослідження

Переглядів: 1864