• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Дiї над матрицями

Основнi означення. Означення прямокутної, квадрат-ної, а також транспонованої матриць було дано в першому роздiлi. Введемо iншi означення.

Матриця розмiру , тобто нази-вається матрицею-рядком, а матриця розмiру нази-вається матрицею-колонкою(або вектором). Нехай A - квадратна матриця n-го порядку

.

Дiагональ матрицi, на якiй розташованi елементи називається головною дiагоналлю матрицi A.

Матриця n-го порядку C, всi елементи якоi, за ви-нятком дiагональних, дорiвнюють нулю, називається дiаго-нальною. Не важко помiтити, що

.

Одиничною матрицею називають дiагональну матрицю, якщо всi її дiагональнi елементи дорiвнюють одиницi. Оди-ничну матрицю будемо позначати лiтерою E.

Матриця Q називається нуль-матрицею, якщо всi її елементи дорiвнюють нулю. Матриця A називається особливою (не особливою),якщо її (). Матриця A називається симетричною, якщо . Матрицi A i B на-зиваються рiвними, якщо вони мають однаковi розмiри i вiдповiднi елементи цих матриць рiвнi мiж собою.

.

Сума матриць. Додавати можна матрицi, якi мають однаковi розмiри. Нехай заданi матрицi A i B, що мають розмiри . Сумою матриць A+B називають матрицю С розмiру , яка утворюється шляхом додавання вiдповiд-них елементiв:

Cума матриць має такi властивостi:

1) A+B=B+A, 2)(A+B)+C=A+(B+C), 3)A+q=A.

Добуток матрицi на число. Добутком матрицi A на число l називається така матриця B=lA=Al, кожен елемент якої дорiвнює добутку вiдповiдного елемента заданої мат-рицi A на число l:

;

Для довiльних матриць A i B однакових розмiрiв i чисел a і b мають мiсце такi властивостi операцiї множення матри-цi на число:

a(A+B)=aA+aB; (a+b)A=aA+bA;

(ab)A=a(bA)=b(aA); 0×A=Q.

Матрицю (-1)×A=-A називають протилежною матрицi A.

Рiзниця матриць. Якщо A i B - матрицi однакових роз-мiрiв, то

A-B=A+(-1)B.

Добуток двох матриць. Нехай задана матриця A розмiру i матриця B розмiру . Добутком матрицi A на матрицю B називають матрицю C розмiру , елементи якої визначаються за формулою:

,

Таким чином, для того, щоб обчислити елемент c_ij матрицi C, потрiбно знайти суму добуткiв елементiв -го рядка матрицi A на вiдповiднi елементи -ої колонки мат-рицi B.

З приведеного означення випливає, що добуток двох матриць має змiст лише тодi, коли число колонок першого спiвмножника дорiвнює числу рядкiв другого спiвмнож-ника. Для двох квадратних матриць одного i того ж порядку добуток матриць завжди має змiст.

Добуток матриць не має комутативної властивостi. Можна впевнитись, що iснують матрицi A i B, для яких A×B i B×A мають змiст, але A×B¹B×A. Наприклад, нехай

З наведеного прикладу видно, що A×B¹B×A. Але iснують матрицi, для яких A×B=B×A. Такi матрицi називають пере-становочними. Добуток двох матриць має ряд важливих властивостей, якi приведемо без доведення:

A×B¹B×A (взагалi); A×E=E×A=A, де E - одинична мат-риця.

(A+B)C=AC+BC; C(A+B)=CA+CB; A×Q=Q; QA=Q;

(AB)C=A(BC); (aA)B=a(AB).

#

Читайте також:

1. Дії над матрицями
2. Дії над матрицями

Переглядів: 1539